Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4689 / 2641
↖ ↑ ↗
← N 81.797190°
W128.485107°		 ← 174.29 m → N 81.797190°
W128.474121°		 →
↑
174.31 m
↓
↑
174.31 m
↓
N 81.795622°
W128.485107°		 ← 174.32 m →
30 384 m²		 N 81.795622°
W128.474121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143112182617188 y=0.0806121826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143112182617188 × 215)
    floor (0.143112182617188 × 32768)
    floor (4689.5)     		tx = 4689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0806121826171875 × 215)
    floor (0.0806121826171875 × 32768)
    floor (2641.5)     		ty = 2641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4689 / 2641 ti = "15/4689/2641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4689/2641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4689 ÷ 215
    4689 ÷ 32768     		x = 0.143096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2641 ÷ 215
    2641 ÷ 32768     		y = 0.080596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.71380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24248816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.080596923828125 × 2 - 1) × π
    0.83880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.63518724591373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24248816} λ = -2.24248816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.63518724591373))-π/2
    2×atan(13.9459235358941)-π/2
    2×1.49921330322706-π/2
    2.99842660645412-1.57079632675     		φ = 1.42763028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24248816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.485107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42763028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.797190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4689 KachelY 2641 -2.24248816 1.42763028 -128.485107 81.797190
    Oben rechts KachelX + 1 4690 KachelY 2641 -2.24229642 1.42763028 -128.474121 81.797190
    Unten links KachelX 4689 KachelY + 1 2642 -2.24248816 1.42760292 -128.485107 81.795622
    Unten rechts KachelX + 1 4690 KachelY + 1 2642 -2.24229642 1.42760292 -128.474121 81.795622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42763028-1.42760292) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dl = 174.310560000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42763028-1.42760292) × R
    2.73600000000318e-05 × 6371000     		dr = 174.310560000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24248816--2.24229642) × cos(1.42763028) × R
    0.000191739999999996 × 0.142677480208522 × 6371000     		do = 174.29131993156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24248816--2.24229642) × cos(1.42760292) × R
    0.000191739999999996 × 0.14270456024136 × 6371000     		du = 174.324400237298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42763028)-sin(1.42760292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.142677480208522-0.14270456024136)×R²
    abs(-2.24229642--2.24248816)×2.70800328378284e-05×R²
    0.000191739999999996×2.70800328378284e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.70800328378284e-05×40589641000000     		ar = 30383.7007053301m²