Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46882 / 56098
↖ ↑ ↗
← N 25.080624°
W 51.234741°		 ← 276.63 m → N 25.080624°
W 51.231995°		 →
↑
276.57 m
↓
↑
276.57 m
↓
N 25.078136°
W 51.234741°		 ← 276.63 m →
76 506 m²		 N 25.078136°
W 51.231995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357685089111328 y=0.427997589111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357685089111328 × 217)
    floor (0.357685089111328 × 131072)
    floor (46882.5)     		tx = 46882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427997589111328 × 217)
    floor (0.427997589111328 × 131072)
    floor (56098.5)     		ty = 56098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46882 / 56098 ti = "17/46882/56098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46882/56098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46882 ÷ 217
    46882 ÷ 131072     		x = 0.357681274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56098 ÷ 217
    56098 ÷ 131072     		y = 0.427993774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.357681274414062 × 2 - 1) × π
    -0.284637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.89421493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427993774414062 × 2 - 1) × π
    0.144012451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.45242845861409
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89421493} λ = -0.89421493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45242845861409))-π/2
    2×atan(1.5721253949633)-π/2
    2×1.00426789503315-π/2
    2.00853579006631-1.57079632675     		φ = 0.43773946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89421493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.234741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43773946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.080624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46882 KachelY 56098 -0.89421493 0.43773946 -51.234741 25.080624
    Oben rechts KachelX + 1 46883 KachelY 56098 -0.89416699 0.43773946 -51.231995 25.080624
    Unten links KachelX 46882 KachelY + 1 56099 -0.89421493 0.43769605 -51.234741 25.078136
    Unten rechts KachelX + 1 46883 KachelY + 1 56099 -0.89416699 0.43769605 -51.231995 25.078136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43773946-0.43769605) × R
    4.34100000000215e-05 × 6371000     		dl = 276.565110000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43773946-0.43769605) × R
    4.34100000000215e-05 × 6371000     		dr = 276.565110000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89421493--0.89416699) × cos(0.43773946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905712203940183 × 6371000     		do = 276.62782011528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89421493--0.89416699) × cos(0.43769605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.905730604288496 × 6371000     		du = 276.63344005528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43773946)-sin(0.43769605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905712203940183-0.905730604288496)×R²
    abs(-0.89416699--0.89421493)×1.84003483130191e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84003483130191e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84003483130191e-05×40589641000000     		ar = 76506.3806509792m²