Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4688 / 3435
↖ ↑ ↗
← N 27.877928°
E 26.015625°		 ← 4 319.40 m → N 27.877928°
E 26.059570°		 →
↑
4 320.18 m
↓
↑
4 320.18 m
↓
N 27.839076°
E 26.015625°		 ← 4 320.94 m →
18 663 889 m²		 N 27.839076°
E 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57232666015625 y=0.41937255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57232666015625 × 213)
    floor (0.57232666015625 × 8192)
    floor (4688.5)     		tx = 4688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41937255859375 × 213)
    floor (0.41937255859375 × 8192)
    floor (3435.5)     		ty = 3435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4688 / 3435 ti = "13/4688/3435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4688/3435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4688 ÷ 213
    4688 ÷ 8192     		x = 0.572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3435 ÷ 213
    3435 ÷ 8192     		y = 0.4193115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572265625 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4193115234375 × 2 - 1) × π
    0.161376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.506980650381714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45405831} λ = 0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.506980650381714))-π/2
    2×atan(1.66027068176848)-π/2
    2×1.02867898241991-π/2
    2.05735796483981-1.57079632675     		φ = 0.48656164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48656164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.877928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4688 KachelY 3435 0.45405831 0.48656164 26.015625 27.877928
    Oben rechts KachelX + 1 4689 KachelY 3435 0.45482530 0.48656164 26.059570 27.877928
    Unten links KachelX 4688 KachelY + 1 3436 0.45405831 0.48588354 26.015625 27.839076
    Unten rechts KachelX + 1 4689 KachelY + 1 3436 0.45482530 0.48588354 26.059570 27.839076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48656164-0.48588354) × R
    0.000678100000000015 × 6371000     		dl = 4320.17510000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48656164-0.48588354) × R
    0.000678100000000015 × 6371000     		dr = 4320.17510000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45405831-0.45482530) × cos(0.48656164) × R
    0.000766989999999967 × 0.883945821045196 × 6371000     		do = 4319.39532326071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45405831-0.45482530) × cos(0.48588354) × R
    0.000766989999999967 × 0.884262690120614 × 6371000     		du = 4320.94370187154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48656164)-sin(0.48588354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883945821045196-0.884262690120614)×R²
    abs(0.45482530-0.45405831)×0.000316869075417503×R²
    0.000766989999999967×0.000316869075417503×6371000²
    0.000766989999999967×0.000316869075417503×40589641000000     		ar = 18663889.4711373m²