Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4688 / 1990
↖ ↑ ↗
← N 82.757067°
W128.496094°		 ← 154.02 m → N 82.757067°
W128.485107°		 →
↑
153.99 m
↓
↑
153.99 m
↓
N 82.755682°
W128.496094°		 ← 154.05 m →
23 719 m²		 N 82.755682°
W128.485107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143081665039062 y=0.0607452392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143081665039062 × 215)
    floor (0.143081665039062 × 32768)
    floor (4688.5)     		tx = 4688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0607452392578125 × 215)
    floor (0.0607452392578125 × 32768)
    floor (1990.5)     		ty = 1990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4688 / 1990 ti = "15/4688/1990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4688/1990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4688 ÷ 215
    4688 ÷ 32768     		x = 0.14306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1990 ÷ 215
    1990 ÷ 32768     		y = 0.06072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14306640625 × 2 - 1) × π
    -0.7138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.24267991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06072998046875 × 2 - 1) × π
    0.8785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.76001493252435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24267991} λ = -2.24267991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76001493252435))-π/2
    2×atan(15.8000788815615)-π/2
    2×1.50758980961643-π/2
    3.01517961923287-1.57079632675     		φ = 1.44438329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24267991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44438329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.757067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4688 KachelY 1990 -2.24267991 1.44438329 -128.496094 82.757067
    Oben rechts KachelX + 1 4689 KachelY 1990 -2.24248816 1.44438329 -128.485107 82.757067
    Unten links KachelX 4688 KachelY + 1 1991 -2.24267991 1.44435912 -128.496094 82.755682
    Unten rechts KachelX + 1 4689 KachelY + 1 1991 -2.24248816 1.44435912 -128.485107 82.755682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44438329-1.44435912) × R
    2.4169999999879e-05 × 6371000     		dl = 153.987069999229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44438329-1.44435912) × R
    2.4169999999879e-05 × 6371000     		dr = 153.987069999229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24267991--2.24248816) × cos(1.44438329) × R
    0.000191749999999935 × 0.126076620262958 × 6371000     		do = 154.020147820523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24267991--2.24248816) × cos(1.44435912) × R
    0.000191749999999935 × 0.126100597361778 × 6371000     		du = 154.049439185542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44438329)-sin(1.44435912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126076620262958-0.126100597361778)×R²
    abs(-2.24248816--2.24267991)×2.39770988195442e-05×R²
    0.000191749999999935×2.39770988195442e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.39770988195442e-05×40589641000000     		ar = 23719.3665306312m²