Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4682 / 3421
↖ ↑ ↗
← N 28.420391°
E 25.751953°		 ← 4 297.57 m → N 28.420391°
E 25.795898°		 →
↑
4 298.39 m
↓
↑
4 298.39 m
↓
N 28.381735°
E 25.751953°		 ← 4 299.14 m →
18 475 984 m²		 N 28.381735°
E 25.795898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57159423828125 y=0.41766357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57159423828125 × 213)
    floor (0.57159423828125 × 8192)
    floor (4682.5)     		tx = 4682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41766357421875 × 213)
    floor (0.41766357421875 × 8192)
    floor (3421.5)     		ty = 3421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4682 / 3421 ti = "13/4682/3421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4682/3421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4682 ÷ 213
    4682 ÷ 8192     		x = 0.571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3421 ÷ 213
    3421 ÷ 8192     		y = 0.4176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571533203125 × 2 - 1) × π
    0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4176025390625 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.517718515896606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44945637} λ = 0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517718515896606))-π/2
    2×atan(1.67819450464706)-π/2
    2×1.03341286296567-π/2
    2.06682572593134-1.57079632675     		φ = 0.49602940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49602940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.420391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4682 KachelY 3421 0.44945637 0.49602940 25.751953 28.420391
    Oben rechts KachelX + 1 4683 KachelY 3421 0.45022336 0.49602940 25.795898 28.420391
    Unten links KachelX 4682 KachelY + 1 3422 0.44945637 0.49535472 25.751953 28.381735
    Unten rechts KachelX + 1 4683 KachelY + 1 3422 0.45022336 0.49535472 25.795898 28.381735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49602940-0.49535472) × R
    0.000674679999999983 × 6371000     		dl = 4298.38627999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49602940-0.49535472) × R
    0.000674679999999983 × 6371000     		dr = 4298.38627999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44945637-0.45022336) × cos(0.49602940) × R
    0.000766990000000023 × 0.879479246105049 × 6371000     		do = 4297.56943478671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44945637-0.45022336) × cos(0.49535472) × R
    0.000766990000000023 × 0.879800151250806 × 6371000     		du = 4299.13753562818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49602940)-sin(0.49535472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879479246105049-0.879800151250806)×R²
    abs(0.45022336-0.44945637)×0.000320905145756223×R²
    0.000766990000000023×0.000320905145756223×6371000²
    0.000766990000000023×0.000320905145756223×40589641000000     		ar = 18475984.3482506m²