Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4682 / 3378
↖ ↑ ↗
← N 30.069094°
E 25.751953°		 ← 4 228.88 m → N 30.069094°
E 25.795898°		 →
↑
4 229.64 m
↓
↑
4 229.64 m
↓
N 30.031056°
E 25.751953°		 ← 4 230.50 m →
17 890 081 m²		 N 30.031056°
E 25.795898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57159423828125 y=0.41241455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57159423828125 × 213)
    floor (0.57159423828125 × 8192)
    floor (4682.5)     		tx = 4682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41241455078125 × 213)
    floor (0.41241455078125 × 8192)
    floor (3378.5)     		ty = 3378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4682 / 3378 ti = "13/4682/3378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4682/3378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4682 ÷ 213
    4682 ÷ 8192     		x = 0.571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3378 ÷ 213
    3378 ÷ 8192     		y = 0.412353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571533203125 × 2 - 1) × π
    0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412353515625 × 2 - 1) × π
    0.17529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.550699102835205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44945637} λ = 0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.550699102835205))-π/2
    2×atan(1.73446516362421)-π/2
    2×1.04780050977614-π/2
    2.09560101955229-1.57079632675     		φ = 0.52480469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52480469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.069094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4682 KachelY 3378 0.44945637 0.52480469 25.751953 30.069094
    Oben rechts KachelX + 1 4683 KachelY 3378 0.45022336 0.52480469 25.795898 30.069094
    Unten links KachelX 4682 KachelY + 1 3379 0.44945637 0.52414080 25.751953 30.031056
    Unten rechts KachelX + 1 4683 KachelY + 1 3379 0.45022336 0.52414080 25.795898 30.031056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52480469-0.52414080) × R
    0.00066389 × 6371000     		dl = 4229.64319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52480469-0.52414080) × R
    0.00066389 × 6371000     		dr = 4229.64319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44945637-0.45022336) × cos(0.52480469) × R
    0.000766990000000023 × 0.86542181702994 × 6371000     		do = 4228.87790193654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44945637-0.45022336) × cos(0.52414080) × R
    0.000766990000000023 × 0.865754264381864 × 6371000     		du = 4230.50240369099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52480469)-sin(0.52414080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86542181702994-0.865754264381864)×R²
    abs(0.45022336-0.44945637)×0.000332447351923837×R²
    0.000766990000000023×0.000332447351923837×6371000²
    0.000766990000000023×0.000332447351923837×40589641000000     		ar = 17890080.8077469m²