Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4681 / 1989
↖ ↑ ↗
← N 82.758452°
W128.572998°		 ← 153.99 m → N 82.758452°
W128.562012°		 →
↑
154.05 m
↓
↑
154.05 m
↓
N 82.757067°
W128.572998°		 ← 154.02 m →
23 725 m²		 N 82.757067°
W128.562012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142868041992188 y=0.0607147216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142868041992188 × 215)
    floor (0.142868041992188 × 32768)
    floor (4681.5)     		tx = 4681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0607147216796875 × 215)
    floor (0.0607147216796875 × 32768)
    floor (1989.5)     		ty = 1989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4681 / 1989 ti = "15/4681/1989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4681/1989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4681 ÷ 215
    4681 ÷ 32768     		x = 0.142852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1989 ÷ 215
    1989 ÷ 32768     		y = 0.060699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.71429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24402215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.060699462890625 × 2 - 1) × π
    0.87860107421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.76020668012283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24402215} λ = -2.24402215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.76020668012283))-π/2
    2×atan(15.8031087992233)-π/2
    2×1.50760189591123-π/2
    3.01520379182246-1.57079632675     		φ = 1.44440747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24402215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.572998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44440747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.758452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4681 KachelY 1989 -2.24402215 1.44440747 -128.572998 82.758452
    Oben rechts KachelX + 1 4682 KachelY 1989 -2.24383040 1.44440747 -128.562012 82.758452
    Unten links KachelX 4681 KachelY + 1 1990 -2.24402215 1.44438329 -128.572998 82.757067
    Unten rechts KachelX + 1 4682 KachelY + 1 1990 -2.24383040 1.44438329 -128.562012 82.757067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44440747-1.44438329) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dl = 154.050780000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44440747-1.44438329) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dr = 154.050780000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24402215--2.24383040) × cos(1.44440747) × R
    0.000191750000000379 × 0.12605263317025 × 6371000     		do = 153.990844246934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24402215--2.24383040) × cos(1.44438329) × R
    0.000191750000000379 × 0.126076620262958 × 6371000     		du = 154.02014782088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44440747)-sin(1.44438329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12605263317025-0.126076620262958)×R²
    abs(-2.24383040--2.24402215)×2.39870927078167e-05×R²
    0.000191750000000379×2.39870927078167e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.39870927078167e-05×40589641000000     		ar = 23724.6667895287m²