Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 468 / 493
↖ ↑ ↗
← N 79.480618°
W138.867187°		 ← 1 784.24 m → N 79.480618°
W138.779297°		 →
↑
1 785.54 m
↓
↑
1 785.54 m
↓
N 79.464560°
W138.867187°		 ← 1 786.93 m →
3 188 222 m²		 N 79.464560°
W138.779297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1143798828125 y=0.1204833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1143798828125 × 212)
    floor (0.1143798828125 × 4096)
    floor (468.5)     		tx = 468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1204833984375 × 212)
    floor (0.1204833984375 × 4096)
    floor (493.5)     		ty = 493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 468 / 493 ti = "12/468/493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/468/493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 468 ÷ 212
    468 ÷ 4096     		x = 0.1142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 493 ÷ 212
    493 ÷ 4096     		y = 0.120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1142578125 × 2 - 1) × π
    -0.771484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.42368964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120361328125 × 2 - 1) × π
    0.75927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38534012509399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42368964} λ = -2.42368964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38534012509399))-π/2
    2×atan(10.8627567328171)-π/2
    2×1.47899740034848-π/2
    2.95799480069696-1.57079632675     		φ = 1.38719847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42368964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38719847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.480618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 468 KachelY 493 -2.42368964 1.38719847 -138.867187 79.480618
    Oben rechts KachelX + 1 469 KachelY 493 -2.42215566 1.38719847 -138.779297 79.480618
    Unten links KachelX 468 KachelY + 1 494 -2.42368964 1.38691821 -138.867187 79.464560
    Unten rechts KachelX + 1 469 KachelY + 1 494 -2.42215566 1.38691821 -138.779297 79.464560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38719847-1.38691821) × R
    0.000280260000000032 × 6371000     		dl = 1785.5364600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38719847-1.38691821) × R
    0.000280260000000032 × 6371000     		dr = 1785.5364600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42368964--2.42215566) × cos(1.38719847) × R
    0.00153398000000005 × 0.182568135774842 × 6371000     		do = 1784.23594086321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42368964--2.42215566) × cos(1.38691821) × R
    0.00153398000000005 × 0.182843678328536 × 6371000     		du = 1786.92881454267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38719847)-sin(1.38691821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182568135774842-0.182843678328536)×R²
    abs(-2.42215566--2.42368964)×0.00027554255369347×R²
    0.00153398000000005×0.00027554255369347×6371000²
    0.00153398000000005×0.00027554255369347×40589641000000     		ar = 3188222.45859329m²