Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 468 / 436
↖ ↑ ↗
← N 25.799891°
W 15.468750°		 ← 35.195 km → N 25.799891°
W 15.117188°		 →
↑
35.242 km
↓
↑
35.242 km
↓
N 25.482951°
W 15.468750°		 ← 35.289 km →
1 242.01 km²		 N 25.482951°
W 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45751953125 y=0.42626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45751953125 × 210)
    floor (0.45751953125 × 1024)
    floor (468.5)     		tx = 468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42626953125 × 210)
    floor (0.42626953125 × 1024)
    floor (436.5)     		ty = 436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 468 / 436 ti = "10/468/436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/468/436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 468 ÷ 210
    468 ÷ 1024     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 436 ÷ 210
    436 ÷ 1024     		y = 0.42578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42578125 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466330159503906))-π/2
    2×atan(1.59413323071017)-π/2
    2×1.01054468728329-π/2
    2.02108937456659-1.57079632675     		φ = 0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 468 KachelY 436 -0.26998062 0.45029305 -15.468750 25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 469 KachelY 436 -0.26384470 0.45029305 -15.117188 25.799891
    Unten links KachelX 468 KachelY + 1 437 -0.26998062 0.44476140 -15.468750 25.482951
    Unten rechts KachelX + 1 469 KachelY + 1 437 -0.26384470 0.44476140 -15.117188 25.482951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45029305-0.44476140) × R
    0.00553165 × 6371000     		dl = 35242.14215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45029305-0.44476140) × R
    0.00553165 × 6371000     		dr = 35242.14215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26384470) × cos(0.45029305) × R
    0.00613592000000002 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 35195.2453583434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26384470) × cos(0.44476140) × R
    0.00613592000000002 × 0.902713346952603 × 6371000     		du = 35288.8217014188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45029305)-sin(0.44476140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.902713346952603)×R²
    abs(-0.26384470--0.26998062)×0.00239374991230701×R²
    0.00613592000000002×0.00239374991230701×6371000²
    0.00613592000000002×0.00239374991230701×40589641000000     		ar = 1242007922.34916m²