Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 468 / 215
↖ ↑ ↗
← N 71.635993°
W 15.468750°		 ← 12.316 km → N 71.635993°
W 15.117188°		 →
↑
12.352 km
↓
↑
12.352 km
↓
N 71.524909°
W 15.468750°		 ← 12.388 km →
152.571 km²		 N 71.524909°
W 15.117188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45751953125 y=0.21044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45751953125 × 210)
    floor (0.45751953125 × 1024)
    floor (468.5)     		tx = 468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.21044921875 × 210)
    floor (0.21044921875 × 1024)
    floor (215.5)     		ty = 215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 468 / 215 ti = "10/468/215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/468/215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 468 ÷ 210
    468 ÷ 1024     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 215 ÷ 210
    215 ÷ 1024     		y = 0.2099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2099609375 × 2 - 1) × π
    0.580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82236917595605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82236917595605))-π/2
    2×atan(6.18649800351879)-π/2
    2×1.4105401327637-π/2
    2.8210802655274-1.57079632675     		φ = 1.25028394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25028394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.635993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 468 KachelY 215 -0.26998062 1.25028394 -15.468750 71.635993
    Oben rechts KachelX + 1 469 KachelY 215 -0.26384470 1.25028394 -15.117188 71.635993
    Unten links KachelX 468 KachelY + 1 216 -0.26998062 1.24834516 -15.468750 71.524909
    Unten rechts KachelX + 1 469 KachelY + 1 216 -0.26384470 1.24834516 -15.117188 71.524909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25028394-1.24834516) × R
    0.00193878000000014 × 6371000     		dl = 12351.9673800009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25028394-1.24834516) × R
    0.00193878000000014 × 6371000     		dr = 12351.9673800009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26384470) × cos(1.25028394) × R
    0.00613592000000002 × 0.315052894995122 × 6371000     		do = 12316.0308591099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26384470) × cos(1.24834516) × R
    0.00613592000000002 × 0.316892347631675 × 6371000     		du = 12387.9386428362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25028394)-sin(1.24834516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315052894995122-0.316892347631675)×R²
    abs(-0.26384470--0.26998062)×0.00183945263655283×R²
    0.00613592000000002×0.00183945263655283×6371000²
    0.00613592000000002×0.00183945263655283×40589641000000     		ar = 152571360.513576m²