Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4677 / 4860
↖ ↑ ↗
← S 31.802893°
E 25.532227°		 ← 4 152.86 m → S 31.802893°
E 25.576172°		 →
↑
4 151.98 m
↓
↑
4 151.98 m
↓
S 31.840232°
E 25.532227°		 ← 4 151.19 m →
17 239 130 m²		 S 31.840232°
E 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57098388671875 y=0.59332275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57098388671875 × 213)
    floor (0.57098388671875 × 8192)
    floor (4677.5)     		tx = 4677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59332275390625 × 213)
    floor (0.59332275390625 × 8192)
    floor (4860.5)     		ty = 4860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4677 / 4860 ti = "13/4677/4860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4677/4860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4677 ÷ 213
    4677 ÷ 8192     		x = 0.5709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4860 ÷ 213
    4860 ÷ 8192     		y = 0.59326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5709228515625 × 2 - 1) × π
    0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59326171875 × 2 - 1) × π
    -0.1865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.585980660955566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44562142} λ = 0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585980660955566))-π/2
    2×atan(0.556559797641046)-π/2
    2×0.507865569756501-π/2
    1.015731139513-1.57079632675     		φ = -0.55506519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55506519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.802893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4677 KachelY 4860 0.44562142 -0.55506519 25.532227 -31.802893
    Oben rechts KachelX + 1 4678 KachelY 4860 0.44638841 -0.55506519 25.576172 -31.802893
    Unten links KachelX 4677 KachelY + 1 4861 0.44562142 -0.55571689 25.532227 -31.840232
    Unten rechts KachelX + 1 4678 KachelY + 1 4861 0.44638841 -0.55571689 25.576172 -31.840232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55506519--0.55571689) × R
    0.000651700000000033 × 6371000     		dl = 4151.98070000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55506519--0.55571689) × R
    0.000651700000000033 × 6371000     		dr = 4151.98070000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44562142-0.44638841) × cos(-0.55506519) × R
    0.000766990000000023 × 0.849866087030189 × 6371000     		do = 4152.8649316717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44562142-0.44638841) × cos(-0.55571689) × R
    0.000766990000000023 × 0.849522461524508 × 6371000     		du = 4151.18580794392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55506519)-sin(-0.55571689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849866087030189-0.849522461524508)×R²
    abs(0.44638841-0.44562142)×0.000343625505681233×R²
    0.000766990000000023×0.000343625505681233×6371000²
    0.000766990000000023×0.000343625505681233×40589641000000     		ar = 17239129.8114932m²