Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4677 / 3367
↖ ↑ ↗
← N 30.486551°
E 25.532227°		 ← 4 210.93 m → N 30.486551°
E 25.576172°		 →
↑
4 211.74 m
↓
↑
4 211.74 m
↓
N 30.448674°
E 25.532227°		 ← 4 212.57 m →
17 738 783 m²		 N 30.448674°
E 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57098388671875 y=0.41107177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57098388671875 × 213)
    floor (0.57098388671875 × 8192)
    floor (4677.5)     		tx = 4677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41107177734375 × 213)
    floor (0.41107177734375 × 8192)
    floor (3367.5)     		ty = 3367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4677 / 3367 ti = "13/4677/3367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4677/3367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4677 ÷ 213
    4677 ÷ 8192     		x = 0.5709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3367 ÷ 213
    3367 ÷ 8192     		y = 0.4110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5709228515625 × 2 - 1) × π
    0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4110107421875 × 2 - 1) × π
    0.177978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.559135997168335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44562142} λ = 0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.559135997168335))-π/2
    2×atan(1.74916056754967)-π/2
    2×1.05144350828047-π/2
    2.10288701656095-1.57079632675     		φ = 0.53209069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53209069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.486551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4677 KachelY 3367 0.44562142 0.53209069 25.532227 30.486551
    Oben rechts KachelX + 1 4678 KachelY 3367 0.44638841 0.53209069 25.576172 30.486551
    Unten links KachelX 4677 KachelY + 1 3368 0.44562142 0.53142961 25.532227 30.448674
    Unten rechts KachelX + 1 4678 KachelY + 1 3368 0.44638841 0.53142961 25.576172 30.448674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53209069-0.53142961) × R
    0.000661079999999981 × 6371000     		dl = 4211.74067999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53209069-0.53142961) × R
    0.000661079999999981 × 6371000     		dr = 4211.74067999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44562142-0.44638841) × cos(0.53209069) × R
    0.000766990000000023 × 0.861748272126041 × 6371000     		do = 4210.92714941312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44562142-0.44638841) × cos(0.53142961) × R
    0.000766990000000023 × 0.862083473545203 × 6371000     		du = 4212.56510889865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53209069)-sin(0.53142961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861748272126041-0.862083473545203)×R²
    abs(0.44638841-0.44562142)×0.00033520141916199×R²
    0.000766990000000023×0.00033520141916199×6371000²
    0.000766990000000023×0.00033520141916199×40589641000000     		ar = 17738783.1520244m²