Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4676 / 2579
↖ ↑ ↗
← N 76.745436°
W 77.255859°		 ← 560.18 m → N 76.745436°
W 77.233887°		 →
↑
560.27 m
↓
↑
560.27 m
↓
N 76.740397°
W 77.255859°		 ← 560.38 m →
313 906 m²		 N 76.740397°
W 77.233887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285430908203125 y=0.157440185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285430908203125 × 214)
    floor (0.285430908203125 × 16384)
    floor (4676.5)     		tx = 4676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157440185546875 × 214)
    floor (0.157440185546875 × 16384)
    floor (2579.5)     		ty = 2579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4676 / 2579 ti = "14/4676/2579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4676/2579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4676 ÷ 214
    4676 ÷ 16384     		x = 0.285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2579 ÷ 214
    2579 ÷ 16384     		y = 0.15740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.42919921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.34836911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15740966796875 × 2 - 1) × π
    0.6851806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.152558540539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34836911} λ = -1.34836911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.152558540539))-π/2
    2×atan(8.60685122818619)-π/2
    2×1.45512843574362-π/2
    2.91025687148724-1.57079632675     		φ = 1.33946054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34836911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.255859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33946054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.745436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4676 KachelY 2579 -1.34836911 1.33946054 -77.255859 76.745436
    Oben rechts KachelX + 1 4677 KachelY 2579 -1.34798562 1.33946054 -77.233887 76.745436
    Unten links KachelX 4676 KachelY + 1 2580 -1.34836911 1.33937260 -77.255859 76.740397
    Unten rechts KachelX + 1 4677 KachelY + 1 2580 -1.34798562 1.33937260 -77.233887 76.740397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33946054-1.33937260) × R
    8.79400000000086e-05 × 6371000     		dl = 560.265740000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33946054-1.33937260) × R
    8.79400000000086e-05 × 6371000     		dr = 560.265740000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34836911--1.34798562) × cos(1.33946054) × R
    0.000383489999999931 × 0.229277930468363 × 6371000     		do = 560.175230740796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34836911--1.34798562) × cos(1.33937260) × R
    0.000383489999999931 × 0.229363526947781 × 6371000     		du = 560.38436132528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33946054)-sin(1.33937260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229277930468363-0.229363526947781)×R²
    abs(-1.34798562--1.34836911)×8.5596479417277e-05×R²
    0.000383489999999931×8.5596479417277e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.5596479417277e-05×40589641000000     		ar = 313905.574735064m²