Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4675 / 4855
↖ ↑ ↗
← S 31.615966°
E 25.444336°		 ← 4 161.24 m → S 31.615966°
E 25.488281°		 →
↑
4 160.39 m
↓
↑
4 160.39 m
↓
S 31.653381°
E 25.444336°		 ← 4 159.57 m →
17 308 920 m²		 S 31.653381°
E 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57073974609375 y=0.59271240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57073974609375 × 213)
    floor (0.57073974609375 × 8192)
    floor (4675.5)     		tx = 4675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59271240234375 × 213)
    floor (0.59271240234375 × 8192)
    floor (4855.5)     		ty = 4855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4675 / 4855 ti = "13/4675/4855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4675/4855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4675 ÷ 213
    4675 ÷ 8192     		x = 0.5706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4855 ÷ 213
    4855 ÷ 8192     		y = 0.5926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5706787109375 × 2 - 1) × π
    0.141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44408744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.185302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.582145708985962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44408744} λ = 0.44408744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582145708985962))-π/2
    2×atan(0.558698275592471)-π/2
    2×0.509496812509593-π/2
    1.01899362501919-1.57079632675     		φ = -0.55180270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44408744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55180270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.615966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4675 KachelY 4855 0.44408744 -0.55180270 25.444336 -31.615966
    Oben rechts KachelX + 1 4676 KachelY 4855 0.44485443 -0.55180270 25.488281 -31.615966
    Unten links KachelX 4675 KachelY + 1 4856 0.44408744 -0.55245572 25.444336 -31.653381
    Unten rechts KachelX + 1 4676 KachelY + 1 4856 0.44485443 -0.55245572 25.488281 -31.653381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55180270--0.55245572) × R
    0.000653020000000004 × 6371000     		dl = 4160.39042000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55180270--0.55245572) × R
    0.000653020000000004 × 6371000     		dr = 4160.39042000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44408744-0.44485443) × cos(-0.55180270) × R
    0.000766990000000023 × 0.851580889066527 × 6371000     		do = 4161.24430031594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44408744-0.44485443) × cos(-0.55245572) × R
    0.000766990000000023 × 0.851238379268632 × 6371000     		du = 4159.57062848677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55180270)-sin(-0.55245572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851580889066527-0.851238379268632)×R²
    abs(0.44485443-0.44408744)×0.000342509797895074×R²
    0.000766990000000023×0.000342509797895074×6371000²
    0.000766990000000023×0.000342509797895074×40589641000000     		ar = 17308919.9732862m²