Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4675 / 2597
↖ ↑ ↗
← N 76.654449°
W 77.277832°		 ← 563.97 m → N 76.654449°
W 77.255859°		 →
↑
564.09 m
↓
↑
564.09 m
↓
N 76.649377°
W 77.277832°		 ← 564.18 m →
318 186 m²		 N 76.649377°
W 77.255859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.285369873046875 y=0.158538818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.285369873046875 × 214)
    floor (0.285369873046875 × 16384)
    floor (4675.5)     		tx = 4675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158538818359375 × 214)
    floor (0.158538818359375 × 16384)
    floor (2597.5)     		ty = 2597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4675 / 2597 ti = "14/4675/2597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4675/2597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4675 ÷ 214
    4675 ÷ 16384     		x = 0.28533935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2597 ÷ 214
    2597 ÷ 16384     		y = 0.15850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.4293212890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.34875261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15850830078125 × 2 - 1) × π
    0.6829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14565562699371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34875261} λ = -1.34875261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14565562699371))-π/2
    2×atan(8.54764346639631)-π/2
    2×1.45433442873544-π/2
    2.90866885747089-1.57079632675     		φ = 1.33787253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34875261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.277832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33787253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.654449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4675 KachelY 2597 -1.34875261 1.33787253 -77.277832 76.654449
    Oben rechts KachelX + 1 4676 KachelY 2597 -1.34836911 1.33787253 -77.255859 76.654449
    Unten links KachelX 4675 KachelY + 1 2598 -1.34875261 1.33778399 -77.277832 76.649377
    Unten rechts KachelX + 1 4676 KachelY + 1 2598 -1.34836911 1.33778399 -77.255859 76.649377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33787253-1.33778399) × R
    8.85400000001368e-05 × 6371000     		dl = 564.088340000872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33787253-1.33778399) × R
    8.85400000001368e-05 × 6371000     		dr = 564.088340000872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34875261--1.34836911) × cos(1.33787253) × R
    0.000383500000000092 × 0.230823347721949 × 6371000     		do = 563.965722787198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34875261--1.34836911) × cos(1.33778399) × R
    0.000383500000000092 × 0.230909495854086 × 6371000     		du = 564.176206666264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33787253)-sin(1.33778399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230823347721949-0.230909495854086)×R²
    abs(-1.34836911--1.34875261)×8.61481321369761e-05×R²
    0.000383500000000092×8.61481321369761e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.61481321369761e-05×40589641000000     		ar = 318185.85434277m²