Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4674 / 3416
↖ ↑ ↗
← N 28.613460°
E 25.400391°		 ← 4 289.71 m → N 28.613460°
E 25.444336°		 →
↑
4 290.49 m
↓
↑
4 290.49 m
↓
N 28.574874°
E 25.400391°		 ← 4 291.28 m →
18 408 314 m²		 N 28.574874°
E 25.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57061767578125 y=0.41705322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57061767578125 × 213)
    floor (0.57061767578125 × 8192)
    floor (4674.5)     		tx = 4674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41705322265625 × 213)
    floor (0.41705322265625 × 8192)
    floor (3416.5)     		ty = 3416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4674 / 3416 ti = "13/4674/3416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4674/3416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4674 ÷ 213
    4674 ÷ 8192     		x = 0.570556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3416 ÷ 213
    3416 ÷ 8192     		y = 0.4169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570556640625 × 2 - 1) × π
    0.14111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44332045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    0.166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44332045} λ = 0.44332045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.521553467866211))-π/2
    2×atan(1.6846426562412)-π/2
    2×1.03509770205824-π/2
    2.07019540411649-1.57079632675     		φ = 0.49939908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44332045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49939908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.613460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4674 KachelY 3416 0.44332045 0.49939908 25.400391 28.613460
    Oben rechts KachelX + 1 4675 KachelY 3416 0.44408744 0.49939908 25.444336 28.613460
    Unten links KachelX 4674 KachelY + 1 3417 0.44332045 0.49872564 25.400391 28.574874
    Unten rechts KachelX + 1 4675 KachelY + 1 3417 0.44408744 0.49872564 25.444336 28.574874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49939908-0.49872564) × R
    0.00067343999999997 × 6371000     		dl = 4290.48623999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49939908-0.49872564) × R
    0.00067343999999997 × 6371000     		dr = 4290.48623999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44332045-0.44408744) × cos(0.49939908) × R
    0.000766990000000023 × 0.877870499818039 × 6371000     		do = 4289.70830684992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44332045-0.44408744) × cos(0.49872564) × R
    0.000766990000000023 × 0.87819280986033 × 6371000     		du = 4291.28327270888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49939908)-sin(0.49872564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877870499818039-0.87819280986033)×R²
    abs(0.44408744-0.44332045)×0.000322310042291774×R²
    0.000766990000000023×0.000322310042291774×6371000²
    0.000766990000000023×0.000322310042291774×40589641000000     		ar = 18408313.8445399m²