Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4673 / 3417
↖ ↑ ↗
← N 28.574874°
E 25.356445°		 ← 4 291.28 m → N 28.574874°
E 25.400391°		 →
↑
4 292.08 m
↓
↑
4 292.08 m
↓
N 28.536275°
E 25.356445°		 ← 4 292.86 m →
18 421 904 m²		 N 28.536275°
E 25.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57049560546875 y=0.41717529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57049560546875 × 213)
    floor (0.57049560546875 × 8192)
    floor (4673.5)     		tx = 4673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41717529296875 × 213)
    floor (0.41717529296875 × 8192)
    floor (3417.5)     		ty = 3417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4673 / 3417 ti = "13/4673/3417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4673/3417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4673 ÷ 213
    4673 ÷ 8192     		x = 0.5704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3417 ÷ 213
    3417 ÷ 8192     		y = 0.4171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5704345703125 × 2 - 1) × π
    0.140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44255346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4171142578125 × 2 - 1) × π
    0.165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.52078647747229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44255346} λ = 0.44255346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52078647747229))-π/2
    2×atan(1.68335104689597)-π/2
    2×1.03476098112623-π/2
    2.06952196225245-1.57079632675     		φ = 0.49872564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44255346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49872564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.574874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4673 KachelY 3417 0.44255346 0.49872564 25.356445 28.574874
    Oben rechts KachelX + 1 4674 KachelY 3417 0.44332045 0.49872564 25.400391 28.574874
    Unten links KachelX 4673 KachelY + 1 3418 0.44255346 0.49805195 25.356445 28.536275
    Unten rechts KachelX + 1 4674 KachelY + 1 3418 0.44332045 0.49805195 25.400391 28.536275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49872564-0.49805195) × R
    0.000673690000000005 × 6371000     		dl = 4292.07899000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49872564-0.49805195) × R
    0.000673690000000005 × 6371000     		dr = 4292.07899000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44255346-0.44332045) × cos(0.49872564) × R
    0.000766989999999967 × 0.87819280986033 × 6371000     		do = 4291.28327270857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44255346-0.44332045) × cos(0.49805195) × R
    0.000766989999999967 × 0.878514841052166 × 6371000     		du = 4292.85687596665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49872564)-sin(0.49805195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87819280986033-0.878514841052166)×R²
    abs(0.44332045-0.44255346)×0.000322031191835936×R²
    0.000766989999999967×0.000322031191835936×6371000²
    0.000766989999999967×0.000322031191835936×40589641000000     		ar = 18421904.4864171m²