Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4673 / 3380
↖ ↑ ↗
← N 29.993002°
E 25.356445°		 ← 4 232.13 m → N 29.993002°
E 25.400391°		 →
↑
4 232.89 m
↓
↑
4 232.89 m
↓
N 29.954935°
E 25.356445°		 ← 4 233.75 m →
17 917 566 m²		 N 29.954935°
E 25.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57049560546875 y=0.41265869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57049560546875 × 213)
    floor (0.57049560546875 × 8192)
    floor (4673.5)     		tx = 4673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41265869140625 × 213)
    floor (0.41265869140625 × 8192)
    floor (3380.5)     		ty = 3380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4673 / 3380 ti = "13/4673/3380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4673/3380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4673 ÷ 213
    4673 ÷ 8192     		x = 0.5704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3380 ÷ 213
    3380 ÷ 8192     		y = 0.41259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5704345703125 × 2 - 1) × π
    0.140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44255346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41259765625 × 2 - 1) × π
    0.1748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.549165122047363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44255346} λ = 0.44255346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.549165122047363))-π/2
    2×atan(1.73180656702541)-π/2
    2×1.04713648460245-π/2
    2.0942729692049-1.57079632675     		φ = 0.52347664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44255346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52347664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.993002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4673 KachelY 3380 0.44255346 0.52347664 25.356445 29.993002
    Oben rechts KachelX + 1 4674 KachelY 3380 0.44332045 0.52347664 25.400391 29.993002
    Unten links KachelX 4673 KachelY + 1 3381 0.44255346 0.52281224 25.356445 29.954935
    Unten rechts KachelX + 1 4674 KachelY + 1 3381 0.44332045 0.52281224 25.400391 29.954935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52347664-0.52281224) × R
    0.000664400000000009 × 6371000     		dl = 4232.89240000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52347664-0.52281224) × R
    0.000664400000000009 × 6371000     		dr = 4232.89240000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44255346-0.44332045) × cos(0.52347664) × R
    0.000766989999999967 × 0.866086465124141 × 6371000     		do = 4232.12570038875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44255346-0.44332045) × cos(0.52281224) × R
    0.000766989999999967 × 0.866418403664834 × 6371000     		du = 4233.74771584055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52347664)-sin(0.52281224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866086465124141-0.866418403664834)×R²
    abs(0.44332045-0.44255346)×0.00033193854069391×R²
    0.000766989999999967×0.00033193854069391×6371000²
    0.000766989999999967×0.00033193854069391×40589641000000     		ar = 17917566.2805689m²