Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4672 / 3381
↖ ↑ ↗
← N 29.954935°
E 25.312500°		 ← 4 233.75 m → N 29.954935°
E 25.356445°		 →
↑
4 234.61 m
↓
↑
4 234.61 m
↓
N 29.916852°
E 25.312500°		 ← 4 235.37 m →
17 931 714 m²		 N 29.916852°
E 25.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57037353515625 y=0.41278076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57037353515625 × 213)
    floor (0.57037353515625 × 8192)
    floor (4672.5)     		tx = 4672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41278076171875 × 213)
    floor (0.41278076171875 × 8192)
    floor (3381.5)     		ty = 3381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4672 / 3381 ti = "13/4672/3381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4672/3381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4672 ÷ 213
    4672 ÷ 8192     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3381 ÷ 213
    3381 ÷ 8192     		y = 0.4127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    0.174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.548398131653442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.548398131653442))-π/2
    2×atan(1.73047879728279)-π/2
    2×1.04680428094611-π/2
    2.09360856189222-1.57079632675     		φ = 0.52281224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52281224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.954935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4672 KachelY 3381 0.44178647 0.52281224 25.312500 29.954935
    Oben rechts KachelX + 1 4673 KachelY 3381 0.44255346 0.52281224 25.356445 29.954935
    Unten links KachelX 4672 KachelY + 1 3382 0.44178647 0.52214757 25.312500 29.916852
    Unten rechts KachelX + 1 4673 KachelY + 1 3382 0.44255346 0.52214757 25.356445 29.916852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52281224-0.52214757) × R
    0.000664670000000034 × 6371000     		dl = 4234.61257000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52281224-0.52214757) × R
    0.000664670000000034 × 6371000     		dr = 4234.61257000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44255346) × cos(0.52281224) × R
    0.000766990000000023 × 0.866418403664834 × 6371000     		do = 4233.74771584085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44255346) × cos(0.52214757) × R
    0.000766990000000023 × 0.866750094405313 × 6371000     		du = 4235.36852041855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52281224)-sin(0.52214757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866418403664834-0.866750094405313)×R²
    abs(0.44255346-0.44178647)×0.000331690740478119×R²
    0.000766990000000023×0.000331690740478119×6371000²
    0.000766990000000023×0.000331690740478119×40589641000000     		ar = 17931713.695594m²