Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4671 / 3415
↖ ↑ ↗
← N 28.652031°
E 25.268555°		 ← 4 288.13 m → N 28.652031°
E 25.312500°		 →
↑
4 288.89 m
↓
↑
4 288.89 m
↓
N 28.613460°
E 25.268555°		 ← 4 289.71 m →
18 394 722 m²		 N 28.613460°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57025146484375 y=0.41693115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57025146484375 × 213)
    floor (0.57025146484375 × 8192)
    floor (4671.5)     		tx = 4671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41693115234375 × 213)
    floor (0.41693115234375 × 8192)
    floor (3415.5)     		ty = 3415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4671 / 3415 ti = "13/4671/3415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4671/3415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4671 ÷ 213
    4671 ÷ 8192     		x = 0.5701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3415 ÷ 213
    3415 ÷ 8192     		y = 0.4168701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5701904296875 × 2 - 1) × π
    0.140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44101948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4168701171875 × 2 - 1) × π
    0.166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.522320458260132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44101948} λ = 0.44101948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.522320458260132))-π/2
    2×atan(1.68593525661839)-π/2
    2×1.03543429933194-π/2
    2.07086859866388-1.57079632675     		φ = 0.50007227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44101948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50007227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.652031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4671 KachelY 3415 0.44101948 0.50007227 25.268555 28.652031
    Oben rechts KachelX + 1 4672 KachelY 3415 0.44178647 0.50007227 25.312500 28.652031
    Unten links KachelX 4671 KachelY + 1 3416 0.44101948 0.49939908 25.268555 28.613460
    Unten rechts KachelX + 1 4672 KachelY + 1 3416 0.44178647 0.49939908 25.312500 28.613460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50007227-0.49939908) × R
    0.00067318999999999 × 6371000     		dl = 4288.89348999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50007227-0.49939908) × R
    0.00067318999999999 × 6371000     		dr = 4288.89348999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44101948-0.44178647) × cos(0.50007227) × R
    0.000766989999999967 × 0.877547911514942 × 6371000     		do = 4288.13198127109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44101948-0.44178647) × cos(0.49939908) × R
    0.000766989999999967 × 0.877870499818039 × 6371000     		du = 4289.70830684961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50007227)-sin(0.49939908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877547911514942-0.877870499818039)×R²
    abs(0.44178647-0.44101948)×0.000322588303096838×R²
    0.000766989999999967×0.000322588303096838×6371000²
    0.000766989999999967×0.000322588303096838×40589641000000     		ar = 18394722.3796735m²