Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4671 / 3382
↖ ↑ ↗
← N 29.916852°
E 25.268555°		 ← 4 235.37 m → N 29.916852°
E 25.312500°		 →
↑
4 236.14 m
↓
↑
4 236.14 m
↓
N 29.878756°
E 25.268555°		 ← 4 236.99 m →
17 945 052 m²		 N 29.878756°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57025146484375 y=0.41290283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57025146484375 × 213)
    floor (0.57025146484375 × 8192)
    floor (4671.5)     		tx = 4671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41290283203125 × 213)
    floor (0.41290283203125 × 8192)
    floor (3382.5)     		ty = 3382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4671 / 3382 ti = "13/4671/3382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4671/3382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4671 ÷ 213
    4671 ÷ 8192     		x = 0.5701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3382 ÷ 213
    3382 ÷ 8192     		y = 0.412841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5701904296875 × 2 - 1) × π
    0.140380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44101948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412841796875 × 2 - 1) × π
    0.17431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.547631141259522
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44101948} λ = 0.44101948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547631141259522))-π/2
    2×atan(1.72915204553635)-π/2
    2×1.04647195004051-π/2
    2.09294390008102-1.57079632675     		φ = 0.52214757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44101948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52214757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.916852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4671 KachelY 3382 0.44101948 0.52214757 25.268555 29.916852
    Oben rechts KachelX + 1 4672 KachelY 3382 0.44178647 0.52214757 25.312500 29.916852
    Unten links KachelX 4671 KachelY + 1 3383 0.44101948 0.52148266 25.268555 29.878756
    Unten rechts KachelX + 1 4672 KachelY + 1 3383 0.44178647 0.52148266 25.312500 29.878756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52214757-0.52148266) × R
    0.000664910000000019 × 6371000     		dl = 4236.14161000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52214757-0.52148266) × R
    0.000664910000000019 × 6371000     		dr = 4236.14161000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44101948-0.44178647) × cos(0.52214757) × R
    0.000766989999999967 × 0.866750094405313 × 6371000     		do = 4235.36852041825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44101948-0.44178647) × cos(0.52148266) × R
    0.000766989999999967 × 0.867081521787497 × 6371000     		du = 4236.98803809741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52214757)-sin(0.52148266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866750094405313-0.867081521787497)×R²
    abs(0.44178647-0.44101948)×0.000331427382184168×R²
    0.000766989999999967×0.000331427382184168×6371000²
    0.000766989999999967×0.000331427382184168×40589641000000     		ar = 17945051.7372752m²