Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 467 / 443
↖ ↑ ↗
← N 23.563987°
W 15.820312°		 ← 35.832 km → N 23.563987°
W 15.468750°		 →
↑
35.876 km
↓
↑
35.876 km
↓
N 23.241346°
W 15.820312°		 ← 35.920 km →
1 287.09 km²		 N 23.241346°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45654296875 y=0.43310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45654296875 × 210)
    floor (0.45654296875 × 1024)
    floor (467.5)     		tx = 467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43310546875 × 210)
    floor (0.43310546875 × 1024)
    floor (443.5)     		ty = 443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 467 / 443 ti = "10/467/443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/467/443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 467 ÷ 210
    467 ÷ 1024     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 443 ÷ 210
    443 ÷ 1024     		y = 0.4326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.423378697444336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423378697444336))-π/2
    2×atan(1.52711250007833)-π/2
    2×0.991032743536421-π/2
    1.98206548707284-1.57079632675     		φ = 0.41126916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41126916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.563987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 467 KachelY 443 -0.27611654 0.41126916 -15.820312 23.563987
    Oben rechts KachelX + 1 468 KachelY 443 -0.26998062 0.41126916 -15.468750 23.563987
    Unten links KachelX 467 KachelY + 1 444 -0.27611654 0.40563801 -15.820312 23.241346
    Unten rechts KachelX + 1 468 KachelY + 1 444 -0.26998062 0.40563801 -15.468750 23.241346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41126916-0.40563801) × R
    0.00563115000000003 × 6371000     		dl = 35876.0566500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41126916-0.40563801) × R
    0.00563115000000003 × 6371000     		dr = 35876.0566500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.26998062) × cos(0.41126916) × R
    0.00613592000000002 × 0.916614185303787 × 6371000     		do = 35832.2325280463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.26998062) × cos(0.40563801) × R
    0.00613592000000002 × 0.91885082221011 × 6371000     		du = 35919.6670179256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41126916)-sin(0.40563801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916614185303787-0.91885082221011)×R²
    abs(-0.26998062--0.27611654)×0.0022366369063227×R²
    0.00613592000000002×0.0022366369063227×6371000²
    0.00613592000000002×0.0022366369063227×40589641000000     		ar = 1287091007.55192m²