Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 467 / 234
↖ ↑ ↗
← N 69.411243°
W 15.820312°		 ← 13.747 km → N 69.411243°
W 15.468750°		 →
↑
13.787 km
↓
↑
13.787 km
↓
N 69.287257°
W 15.820312°		 ← 13.826 km →
190.070 km²		 N 69.287257°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45654296875 y=0.22900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45654296875 × 210)
    floor (0.45654296875 × 1024)
    floor (467.5)     		tx = 467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22900390625 × 210)
    floor (0.22900390625 × 1024)
    floor (234.5)     		ty = 234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 467 / 234 ti = "10/467/234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/467/234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 467 ÷ 210
    467 ÷ 1024     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 234 ÷ 210
    234 ÷ 1024     		y = 0.228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228515625 × 2 - 1) × π
    0.54296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70578663608008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70578663608008))-π/2
    2×atan(5.50571495823276)-π/2
    2×1.39112552190334-π/2
    2.78225104380667-1.57079632675     		φ = 1.21145472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21145472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.411243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 467 KachelY 234 -0.27611654 1.21145472 -15.820312 69.411243
    Oben rechts KachelX + 1 468 KachelY 234 -0.26998062 1.21145472 -15.468750 69.411243
    Unten links KachelX 467 KachelY + 1 235 -0.27611654 1.20929076 -15.820312 69.287257
    Unten rechts KachelX + 1 468 KachelY + 1 235 -0.26998062 1.20929076 -15.468750 69.287257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21145472-1.20929076) × R
    0.00216396000000008 × 6371000     		dl = 13786.5891600005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21145472-1.20929076) × R
    0.00216396000000008 × 6371000     		dr = 13786.5891600005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.26998062) × cos(1.21145472) × R
    0.00613592000000002 × 0.351657968858022 × 6371000     		do = 13746.994441598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.26998062) × cos(1.20929076) × R
    0.00613592000000002 × 0.353682888668491 × 6371000     		du = 13826.1524981312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21145472)-sin(1.20929076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351657968858022-0.353682888668491)×R²
    abs(-0.26998062--0.27611654)×0.00202491981046926×R²
    0.00613592000000002×0.00202491981046926×6371000²
    0.00613592000000002×0.00202491981046926×40589641000000     		ar = 190069898.523582m²