Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 467 / 214
↖ ↑ ↗
← N 71.746432°
W 15.820312°		 ← 12.244 km → N 71.746432°
W 15.468750°		 →
↑
12.280 km
↓
↑
12.280 km
↓
N 71.635993°
W 15.820312°		 ← 12.316 km →
150.804 km²		 N 71.635993°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45654296875 y=0.20947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45654296875 × 210)
    floor (0.45654296875 × 1024)
    floor (467.5)     		tx = 467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.20947265625 × 210)
    floor (0.20947265625 × 1024)
    floor (214.5)     		ty = 214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 467 / 214 ti = "10/467/214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/467/214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 467 ÷ 210
    467 ÷ 1024     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 214 ÷ 210
    214 ÷ 1024     		y = 0.208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208984375 × 2 - 1) × π
    0.58203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.82850509910742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82850509910742))-π/2
    2×atan(6.22457457784768)-π/2
    2×1.41150389341655-π/2
    2.8230077868331-1.57079632675     		φ = 1.25221146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25221146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.746432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 467 KachelY 214 -0.27611654 1.25221146 -15.820312 71.746432
    Oben rechts KachelX + 1 468 KachelY 214 -0.26998062 1.25221146 -15.468750 71.746432
    Unten links KachelX 467 KachelY + 1 215 -0.27611654 1.25028394 -15.820312 71.635993
    Unten rechts KachelX + 1 468 KachelY + 1 215 -0.26998062 1.25028394 -15.468750 71.635993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25221146-1.25028394) × R
    0.00192751999999996 × 6371000     		dl = 12280.2299199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25221146-1.25028394) × R
    0.00192751999999996 × 6371000     		dr = 12280.2299199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.26998062) × cos(1.25221146) × R
    0.00613592000000002 × 0.313222951529119 × 6371000     		do = 12244.4948073683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.26998062) × cos(1.25028394) × R
    0.00613592000000002 × 0.315052894995122 × 6371000     		du = 12316.0308591099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25221146)-sin(1.25028394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313222951529119-0.315052894995122)×R²
    abs(-0.26998062--0.27611654)×0.00182994346600268×R²
    0.00613592000000002×0.00182994346600268×6371000²
    0.00613592000000002×0.00182994346600268×40589641000000     		ar = 150804497.760959m²