Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4669 / 3823
↖ ↑ ↗
← N 11.910353°
E 25.180664°		 ← 4 781.30 m → N 11.910353°
E 25.224610°		 →
↑
4 781.63 m
↓
↑
4 781.63 m
↓
N 11.867351°
E 25.180664°		 ← 4 782.05 m →
22 864 177 m²		 N 11.867351°
E 25.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57000732421875 y=0.46673583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57000732421875 × 213)
    floor (0.57000732421875 × 8192)
    floor (4669.5)     		tx = 4669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46673583984375 × 213)
    floor (0.46673583984375 × 8192)
    floor (3823.5)     		ty = 3823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4669 / 3823 ti = "13/4669/3823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4669/3823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4669 ÷ 213
    4669 ÷ 8192     		x = 0.5699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3823 ÷ 213
    3823 ÷ 8192     		y = 0.4666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5699462890625 × 2 - 1) × π
    0.139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43948550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    0.066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.209388377540405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43948550} λ = 0.43948550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209388377540405))-π/2
    2×atan(1.23292374544873)-π/2
    2×0.889335605706956-π/2
    1.77867121141391-1.57079632675     		φ = 0.20787488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43948550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20787488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.910353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4669 KachelY 3823 0.43948550 0.20787488 25.180664 11.910353
    Oben rechts KachelX + 1 4670 KachelY 3823 0.44025249 0.20787488 25.224610 11.910353
    Unten links KachelX 4669 KachelY + 1 3824 0.43948550 0.20712435 25.180664 11.867351
    Unten rechts KachelX + 1 4670 KachelY + 1 3824 0.44025249 0.20712435 25.224610 11.867351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20787488-0.20712435) × R
    0.000750529999999999 × 6371000     		dl = 4781.62663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20787488-0.20712435) × R
    0.000750529999999999 × 6371000     		dr = 4781.62663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43948550-0.44025249) × cos(0.20787488) × R
    0.000766990000000023 × 0.978471708234068 × 6371000     		do = 4781.29543674075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43948550-0.44025249) × cos(0.20712435) × R
    0.000766990000000023 × 0.978626327765447 × 6371000     		du = 4782.05098404334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20787488)-sin(0.20712435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978471708234068-0.978626327765447)×R²
    abs(0.44025249-0.43948550)×0.000154619531379296×R²
    0.000766990000000023×0.000154619531379296×6371000²
    0.000766990000000023×0.000154619531379296×40589641000000     		ar = 22864177.032042m²