Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46669 / 54863
↖ ↑ ↗
← N 28.113171°
W 51.819763°		 ← 269.39 m → N 28.113171°
W 51.817017°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 28.110749°
W 51.819763°		 ← 269.40 m →
72 566 m²		 N 28.110749°
W 51.817017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.356060028076172 y=0.418575286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.356060028076172 × 217)
    floor (0.356060028076172 × 131072)
    floor (46669.5)     		tx = 46669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418575286865234 × 217)
    floor (0.418575286865234 × 131072)
    floor (54863.5)     		ty = 54863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46669 / 54863 ti = "17/46669/54863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46669/54863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46669 ÷ 217
    46669 ÷ 131072     		x = 0.356056213378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54863 ÷ 217
    54863 ÷ 131072     		y = 0.418571472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.356056213378906 × 2 - 1) × π
    -0.287887573242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.90442549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418571472167969 × 2 - 1) × π
    0.162857055664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.511630529644859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90442549} λ = -0.90442549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511630529644859))-π/2
    2×atan(1.66800871650423)-π/2
    2×1.03073186478446-π/2
    2.06146372956892-1.57079632675     		φ = 0.49066740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90442549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.819763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49066740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.113171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46669 KachelY 54863 -0.90442549 0.49066740 -51.819763 28.113171
    Oben rechts KachelX + 1 46670 KachelY 54863 -0.90437755 0.49066740 -51.817017 28.113171
    Unten links KachelX 46669 KachelY + 1 54864 -0.90442549 0.49062512 -51.819763 28.110749
    Unten rechts KachelX + 1 46670 KachelY + 1 54864 -0.90437755 0.49062512 -51.817017 28.110749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49066740-0.49062512) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dl = 269.365879999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49066740-0.49062512) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dr = 269.365879999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90442549--0.90437755) × cos(0.49066740) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.882018566410112 × 6371000     		do = 269.391173339995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90442549--0.90437755) × cos(0.49062512) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.882038488577257 × 6371000     		du = 269.397258082637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49066740)-sin(0.49062512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882018566410112-0.882038488577257)×R²
    abs(-0.90437755--0.90442549)×1.99221671443039e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.99221671443039e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.99221671443039e-05×40589641000000     		ar = 72565.6099927255m²