Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4666 / 3817
↖ ↑ ↗
← N 12.168226°
E 25.048828°		 ← 4 776.71 m → N 12.168226°
E 25.092773°		 →
↑
4 777.10 m
↓
↑
4 777.10 m
↓
N 12.125264°
E 25.048828°		 ← 4 777.48 m →
22 820 670 m²		 N 12.125264°
E 25.092773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56964111328125 y=0.46600341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56964111328125 × 213)
    floor (0.56964111328125 × 8192)
    floor (4666.5)     		tx = 4666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46600341796875 × 213)
    floor (0.46600341796875 × 8192)
    floor (3817.5)     		ty = 3817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4666 / 3817 ti = "13/4666/3817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4666/3817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4666 ÷ 213
    4666 ÷ 8192     		x = 0.569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3817 ÷ 213
    3817 ÷ 8192     		y = 0.4659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569580078125 × 2 - 1) × π
    0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4659423828125 × 2 - 1) × π
    0.068115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.213990319903931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43718452} λ = 0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.213990319903931))-π/2
    2×atan(1.23861066486519)-π/2
    2×0.891585964492546-π/2
    1.78317192898509-1.57079632675     		φ = 0.21237560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21237560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.168226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4666 KachelY 3817 0.43718452 0.21237560 25.048828 12.168226
    Oben rechts KachelX + 1 4667 KachelY 3817 0.43795151 0.21237560 25.092773 12.168226
    Unten links KachelX 4666 KachelY + 1 3818 0.43718452 0.21162578 25.048828 12.125264
    Unten rechts KachelX + 1 4667 KachelY + 1 3818 0.43795151 0.21162578 25.092773 12.125264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21237560-0.21162578) × R
    0.000749819999999984 × 6371000     		dl = 4777.1032199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21237560-0.21162578) × R
    0.000749819999999984 × 6371000     		dr = 4777.1032199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43718452-0.43795151) × cos(0.21237560) × R
    0.000766989999999967 × 0.977532938106478 × 6371000     		do = 4776.70814281109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43718452-0.43795151) × cos(0.21162578) × R
    0.000766989999999967 × 0.977690712391366 × 6371000     		du = 4777.47910579553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21237560)-sin(0.21162578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977532938106478-0.977690712391366)×R²
    abs(0.43795151-0.43718452)×0.000157774284887724×R²
    0.000766989999999967×0.000157774284887724×6371000²
    0.000766989999999967×0.000157774284887724×40589641000000     		ar = 22820670.4041056m²