Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46652 / 83412
↖ ↑ ↗
← S 44.000718°
W 51.866455°		 ← 219.66 m → S 44.000718°
W 51.863709°		 →
↑
219.67 m
↓
↑
219.67 m
↓
S 44.002693°
W 51.866455°		 ← 219.65 m →
48 252 m²		 S 44.002693°
W 51.863709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355930328369141 y=0.636386871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355930328369141 × 217)
    floor (0.355930328369141 × 131072)
    floor (46652.5)     		tx = 46652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636386871337891 × 217)
    floor (0.636386871337891 × 131072)
    floor (83412.5)     		ty = 83412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46652 / 83412 ti = "17/46652/83412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46652/83412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46652 ÷ 217
    46652 ÷ 131072     		x = 0.355926513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83412 ÷ 217
    83412 ÷ 131072     		y = 0.636383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355926513671875 × 2 - 1) × π
    -0.28814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.90524041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.27276611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.856920017608124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90524041} λ = -0.90524041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.856920017608124))-π/2
    2×atan(0.424467423261855)-π/2
    2×0.401419463681646-π/2
    0.802838927363292-1.57079632675     		φ = -0.76795740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90524041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.866455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76795740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.000718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46652 KachelY 83412 -0.90524041 -0.76795740 -51.866455 -44.000718
    Oben rechts KachelX + 1 46653 KachelY 83412 -0.90519248 -0.76795740 -51.863709 -44.000718
    Unten links KachelX 46652 KachelY + 1 83413 -0.90524041 -0.76799188 -51.866455 -44.002693
    Unten rechts KachelX + 1 46653 KachelY + 1 83413 -0.90519248 -0.76799188 -51.863709 -44.002693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76795740--0.76799188) × R
    3.44799999999479e-05 × 6371000     		dl = 219.672079999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76795740--0.76799188) × R
    3.44799999999479e-05 × 6371000     		dr = 219.672079999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90524041--0.90519248) × cos(-0.76795740) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.719331096822375 × 6371000     		do = 219.656403967941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90524041--0.90519248) × cos(-0.76799188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.719307144263415 × 6371000     		du = 219.649089765914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76795740)-sin(-0.76799188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.719331096822375-0.719307144263415)×R²
    abs(-0.90519248--0.90524041)×2.39525589602607e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39525589602607e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39525589602607e-05×40589641000000     		ar = 48251.575786625m²