Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4665 / 3821
↖ ↑ ↗
← N 11.996338°
E 25.004883°		 ← 4 779.78 m → N 11.996338°
E 25.048828°		 →
↑
4 780.16 m
↓
↑
4 780.16 m
↓
N 11.953349°
E 25.004883°		 ← 4 780.54 m →
22 849 922 m²		 N 11.953349°
E 25.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56951904296875 y=0.46649169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56951904296875 × 213)
    floor (0.56951904296875 × 8192)
    floor (4665.5)     		tx = 4665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46649169921875 × 213)
    floor (0.46649169921875 × 8192)
    floor (3821.5)     		ty = 3821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4665 / 3821 ti = "13/4665/3821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4665/3821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4665 ÷ 213
    4665 ÷ 8192     		x = 0.5694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3821 ÷ 213
    3821 ÷ 8192     		y = 0.4664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5694580078125 × 2 - 1) × π
    0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4664306640625 × 2 - 1) × π
    0.067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.210922358328247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43641753} λ = 0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.210922358328247))-π/2
    2×atan(1.23481647812375)-π/2
    2×0.890085965043111-π/2
    1.78017193008622-1.57079632675     		φ = 0.20937560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20937560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.996338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4665 KachelY 3821 0.43641753 0.20937560 25.004883 11.996338
    Oben rechts KachelX + 1 4666 KachelY 3821 0.43718452 0.20937560 25.048828 11.996338
    Unten links KachelX 4665 KachelY + 1 3822 0.43641753 0.20862530 25.004883 11.953349
    Unten rechts KachelX + 1 4666 KachelY + 1 3822 0.43718452 0.20862530 25.048828 11.953349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20937560-0.20862530) × R
    0.000750299999999982 × 6371000     		dl = 4780.16129999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20937560-0.20862530) × R
    0.000750299999999982 × 6371000     		dr = 4780.16129999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43641753-0.43718452) × cos(0.20937560) × R
    0.000766990000000023 × 0.978160886422083 × 6371000     		do = 4779.7766080421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43641753-0.43718452) × cos(0.20862530) × R
    0.000766990000000023 × 0.978316560316897 × 6371000     		du = 4780.53730748454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20937560)-sin(0.20862530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978160886422083-0.978316560316897)×R²
    abs(0.43718452-0.43641753)×0.000155673894813968×R²
    0.000766990000000023×0.000155673894813968×6371000²
    0.000766990000000023×0.000155673894813968×40589641000000     		ar = 22849922.3693725m²