Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4664 / 3816
↖ ↑ ↗
← N 12.211180°
E 24.960937°		 ← 4 775.93 m → N 12.211180°
E 25.004883°		 →
↑
4 776.34 m
↓
↑
4 776.34 m
↓
N 12.168226°
E 24.960937°		 ← 4 776.71 m →
22 813 330 m²		 N 12.168226°
E 25.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56939697265625 y=0.46588134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56939697265625 × 213)
    floor (0.56939697265625 × 8192)
    floor (4664.5)     		tx = 4664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46588134765625 × 213)
    floor (0.46588134765625 × 8192)
    floor (3816.5)     		ty = 3816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4664 / 3816 ti = "13/4664/3816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4664/3816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4664 ÷ 213
    4664 ÷ 8192     		x = 0.5693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3816 ÷ 213
    3816 ÷ 8192     		y = 0.4658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4658203125 × 2 - 1) × π
    0.068359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.214757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43565054} λ = 0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.214757310297852))-π/2
    2×atan(1.2395610317615)-π/2
    2×0.891960813342477-π/2
    1.78392162668495-1.57079632675     		φ = 0.21312530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21312530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.211180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4664 KachelY 3816 0.43565054 0.21312530 24.960937 12.211180
    Oben rechts KachelX + 1 4665 KachelY 3816 0.43641753 0.21312530 25.004883 12.211180
    Unten links KachelX 4664 KachelY + 1 3817 0.43565054 0.21237560 24.960937 12.168226
    Unten rechts KachelX + 1 4665 KachelY + 1 3817 0.43641753 0.21237560 25.004883 12.168226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21312530-0.21237560) × R
    0.000749699999999992 × 6371000     		dl = 4776.33869999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21312530-0.21237560) × R
    0.000749699999999992 × 6371000     		dr = 4776.33869999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43565054-0.43641753) × cos(0.21312530) × R
    0.000766990000000023 × 0.97737463960511 × 6371000     		do = 4775.93461824668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43565054-0.43641753) × cos(0.21237560) × R
    0.000766990000000023 × 0.977532938106478 × 6371000     		du = 4776.70814281144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21312530)-sin(0.21237560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97737463960511-0.977532938106478)×R²
    abs(0.43641753-0.43565054)×0.000158298501368392×R²
    0.000766990000000023×0.000158298501368392×6371000²
    0.000766990000000023×0.000158298501368392×40589641000000     		ar = 22813329.7219777m²