Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4663 / 3543
↖ ↑ ↗
← N 23.604262°
E 24.916992°		 ← 4 477.65 m → N 23.604262°
E 24.960937°		 →
↑
4 478.37 m
↓
↑
4 478.37 m
↓
N 23.563987°
E 24.916992°		 ← 4 479.03 m →
20 055 660 m²		 N 23.563987°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56927490234375 y=0.43255615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56927490234375 × 213)
    floor (0.56927490234375 × 8192)
    floor (4663.5)     		tx = 4663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43255615234375 × 213)
    floor (0.43255615234375 × 8192)
    floor (3543.5)     		ty = 3543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4663 / 3543 ti = "13/4663/3543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4663/3543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4663 ÷ 213
    4663 ÷ 8192     		x = 0.5692138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3543 ÷ 213
    3543 ÷ 8192     		y = 0.4324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5692138671875 × 2 - 1) × π
    0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4324951171875 × 2 - 1) × π
    0.135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.424145687838257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43488355} λ = 0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.424145687838257))-π/2
    2×atan(1.52828422999168)-π/2
    2×0.991384206759021-π/2
    1.98276841351804-1.57079632675     		φ = 0.41197209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41197209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.604262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4663 KachelY 3543 0.43488355 0.41197209 24.916992 23.604262
    Oben rechts KachelX + 1 4664 KachelY 3543 0.43565054 0.41197209 24.960937 23.604262
    Unten links KachelX 4663 KachelY + 1 3544 0.43488355 0.41126916 24.916992 23.563987
    Unten rechts KachelX + 1 4664 KachelY + 1 3544 0.43565054 0.41126916 24.960937 23.563987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41197209-0.41126916) × R
    0.000702929999999991 × 6371000     		dl = 4478.36702999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41197209-0.41126916) × R
    0.000702929999999991 × 6371000     		dr = 4478.36702999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43488355-0.43565054) × cos(0.41197209) × R
    0.000766989999999967 × 0.916332946451931 × 6371000     		do = 4477.6547942431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43488355-0.43565054) × cos(0.41126916) × R
    0.000766989999999967 × 0.916614185303787 × 6371000     		du = 4479.02906600558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41197209)-sin(0.41126916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916332946451931-0.916614185303787)×R²
    abs(0.43565054-0.43488355)×0.00028123885185638×R²
    0.000766989999999967×0.00028123885185638×6371000²
    0.000766989999999967×0.00028123885185638×40589641000000     		ar = 20055659.674745m²