Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4663 / 3451
↖ ↑ ↗
← N 27.254629°
E 24.916992°		 ← 4 344 m → N 27.254629°
E 24.960937°		 →
↑
4 344.77 m
↓
↑
4 344.77 m
↓
N 27.215556°
E 24.916992°		 ← 4 345.52 m →
18 876 963 m²		 N 27.215556°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56927490234375 y=0.42132568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56927490234375 × 213)
    floor (0.56927490234375 × 8192)
    floor (4663.5)     		tx = 4663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42132568359375 × 213)
    floor (0.42132568359375 × 8192)
    floor (3451.5)     		ty = 3451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4663 / 3451 ti = "13/4663/3451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4663/3451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4663 ÷ 213
    4663 ÷ 8192     		x = 0.5692138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3451 ÷ 213
    3451 ÷ 8192     		y = 0.4212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5692138671875 × 2 - 1) × π
    0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4212646484375 × 2 - 1) × π
    0.157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.494708804078979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43488355} λ = 0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494708804078979))-π/2
    2×atan(1.64002060220772)-π/2
    2×1.02323967466318-π/2
    2.04647934932637-1.57079632675     		φ = 0.47568302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47568302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.254629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4663 KachelY 3451 0.43488355 0.47568302 24.916992 27.254629
    Oben rechts KachelX + 1 4664 KachelY 3451 0.43565054 0.47568302 24.960937 27.254629
    Unten links KachelX 4663 KachelY + 1 3452 0.43488355 0.47500106 24.916992 27.215556
    Unten rechts KachelX + 1 4664 KachelY + 1 3452 0.43565054 0.47500106 24.960937 27.215556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47568302-0.47500106) × R
    0.000681960000000037 × 6371000     		dl = 4344.76716000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47568302-0.47500106) × R
    0.000681960000000037 × 6371000     		dr = 4344.76716000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43488355-0.43565054) × cos(0.47568302) × R
    0.000766989999999967 × 0.888980142906488 × 6371000     		do = 4343.99550325561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43488355-0.43565054) × cos(0.47500106) × R
    0.000766989999999967 × 0.889292236843915 × 6371000     		du = 4345.52054818669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47568302)-sin(0.47500106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888980142906488-0.889292236843915)×R²
    abs(0.43565054-0.43488355)×0.000312093937426816×R²
    0.000766989999999967×0.000312093937426816×6371000²
    0.000766989999999967×0.000312093937426816×40589641000000     		ar = 18876962.7198926m²