Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46618 / 83511
↖ ↑ ↗
← S 44.195990°
W 51.959839°		 ← 218.98 m → S 44.195990°
W 51.957092°		 →
↑
218.97 m
↓
↑
218.97 m
↓
S 44.197959°
W 51.959839°		 ← 218.97 m →
47 949 m²		 S 44.197959°
W 51.957092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355670928955078 y=0.637142181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355670928955078 × 217)
    floor (0.355670928955078 × 131072)
    floor (46618.5)     		tx = 46618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637142181396484 × 217)
    floor (0.637142181396484 × 131072)
    floor (83511.5)     		ty = 83511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46618 / 83511 ti = "17/46618/83511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46618/83511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46618 ÷ 217
    46618 ÷ 131072     		x = 0.355667114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83511 ÷ 217
    83511 ÷ 131072     		y = 0.637138366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355667114257812 × 2 - 1) × π
    -0.288665771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.90687027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637138366699219 × 2 - 1) × π
    -0.274276733398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.861665770670509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90687027} λ = -0.90687027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.861665770670509))-π/2
    2×atan(0.422457778099665)-π/2
    2×0.399715393574244-π/2
    0.799430787148488-1.57079632675     		φ = -0.77136554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90687027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.959839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77136554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.195990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46618 KachelY 83511 -0.90687027 -0.77136554 -51.959839 -44.195990
    Oben rechts KachelX + 1 46619 KachelY 83511 -0.90682233 -0.77136554 -51.957092 -44.195990
    Unten links KachelX 46618 KachelY + 1 83512 -0.90687027 -0.77139991 -51.959839 -44.197959
    Unten rechts KachelX + 1 46619 KachelY + 1 83512 -0.90682233 -0.77139991 -51.957092 -44.197959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77136554--0.77139991) × R
    3.43699999999503e-05 × 6371000     		dl = 218.971269999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77136554--0.77139991) × R
    3.43699999999503e-05 × 6371000     		dr = 218.971269999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90687027--0.90682233) × cos(-0.77136554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.716959400048893 × 6371000     		do = 218.977855309745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90687027--0.90682233) × cos(-0.77139991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.716935439785453 × 6371000     		du = 218.970537228554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77136554)-sin(-0.77139991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716959400048893-0.716935439785453)×R²
    abs(-0.90682233--0.90687027)×2.39602634390934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39602634390934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39602634390934e-05×40589641000000     		ar = 47949.0578588186m²