Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46617 / 54869
↖ ↑ ↗
← N 28.098635°
W 51.962585°		 ← 269.37 m → N 28.098635°
W 51.959839°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 28.096212°
W 51.962585°		 ← 269.38 m →
72 577 m²		 N 28.096212°
W 51.959839°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355663299560547 y=0.418621063232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355663299560547 × 217)
    floor (0.355663299560547 × 131072)
    floor (46617.5)     		tx = 46617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418621063232422 × 217)
    floor (0.418621063232422 × 131072)
    floor (54869.5)     		ty = 54869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46617 / 54869 ti = "17/46617/54869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46617/54869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46617 ÷ 217
    46617 ÷ 131072     		x = 0.355659484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54869 ÷ 217
    54869 ÷ 131072     		y = 0.418617248535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355659484863281 × 2 - 1) × π
    -0.288681030273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.90691820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418617248535156 × 2 - 1) × π
    0.162765502929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.511342908247139
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90691820} λ = -0.90691820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.511342908247139))-π/2
    2×atan(1.66752903049306)-π/2
    2×1.03060501248352-π/2
    2.06121002496704-1.57079632675     		φ = 0.49041370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90691820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.962585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49041370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.098635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46617 KachelY 54869 -0.90691820 0.49041370 -51.962585 28.098635
    Oben rechts KachelX + 1 46618 KachelY 54869 -0.90687027 0.49041370 -51.959839 28.098635
    Unten links KachelX 46617 KachelY + 1 54870 -0.90691820 0.49037141 -51.962585 28.096212
    Unten rechts KachelX + 1 46618 KachelY + 1 54870 -0.90687027 0.49037141 -51.959839 28.096212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49041370-0.49037141) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49041370-0.49037141) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90691820--0.90687027) × cos(0.49041370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.882138085181125 × 6371000     		do = 269.371476431386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90691820--0.90687027) × cos(0.49037141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.882158002596141 × 6371000     		du = 269.377558453668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49041370)-sin(0.49037141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882138085181125-0.882158002596141)×R²
    abs(-0.90687027--0.90691820)×1.99174150163905e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99174150163905e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99174150163905e-05×40589641000000     		ar = 72577.4658018139m²