Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46610 / 54801
↖ ↑ ↗
← N 28.263263°
W 51.981811°		 ← 268.96 m → N 28.263263°
W 51.979065°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
N 28.260844°
W 51.981811°		 ← 268.96 m →
72 346 m²		 N 28.260844°
W 51.979065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355609893798828 y=0.418102264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355609893798828 × 217)
    floor (0.355609893798828 × 131072)
    floor (46610.5)     		tx = 46610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418102264404297 × 217)
    floor (0.418102264404297 × 131072)
    floor (54801.5)     		ty = 54801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46610 / 54801 ti = "17/46610/54801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46610/54801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46610 ÷ 217
    46610 ÷ 131072     		x = 0.355606079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54801 ÷ 217
    54801 ÷ 131072     		y = 0.418098449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355606079101562 × 2 - 1) × π
    -0.288787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.90725376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418098449707031 × 2 - 1) × π
    0.163803100585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.514602617421303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90725376} λ = -0.90725376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514602617421303))-π/2
    2×atan(1.67297355914094)-π/2
    2×1.03204166418738-π/2
    2.06408332837477-1.57079632675     		φ = 0.49328700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90725376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.981811°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49328700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.263263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46610 KachelY 54801 -0.90725376 0.49328700 -51.981811 28.263263
    Oben rechts KachelX + 1 46611 KachelY 54801 -0.90720583 0.49328700 -51.979065 28.263263
    Unten links KachelX 46610 KachelY + 1 54802 -0.90725376 0.49324478 -51.981811 28.260844
    Unten rechts KachelX + 1 46611 KachelY + 1 54802 -0.90720583 0.49324478 -51.979065 28.260844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49328700-0.49324478) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dl = 268.983619999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49328700-0.49324478) × R
    4.22199999999817e-05 × 6371000     		dr = 268.983619999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90725376--0.90720583) × cos(0.49328700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880781147580732 × 6371000     		do = 268.957119211147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90725376--0.90720583) × cos(0.49324478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.880801138960786 × 6371000     		du = 268.963223819542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49328700)-sin(0.49324478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880781147580732-0.880801138960786)×R²
    abs(-0.90720583--0.90725376)×1.99913800537077e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99913800537077e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99913800537077e-05×40589641000000     		ar = 72345.880580716m²