Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4661 / 3337
↖ ↑ ↗
← N 31.615966°
E 24.829101°		 ← 4 161.24 m → N 31.615966°
E 24.873047°		 →
↑
4 162.05 m
↓
↑
4 162.05 m
↓
N 31.578536°
E 24.829101°		 ← 4 162.92 m →
17 322 775 m²		 N 31.578536°
E 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56903076171875 y=0.40740966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56903076171875 × 213)
    floor (0.56903076171875 × 8192)
    floor (4661.5)     		tx = 4661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40740966796875 × 213)
    floor (0.40740966796875 × 8192)
    floor (3337.5)     		ty = 3337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4661 / 3337 ti = "13/4661/3337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4661/3337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4661 ÷ 213
    4661 ÷ 8192     		x = 0.5689697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3337 ÷ 213
    3337 ÷ 8192     		y = 0.4073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5689697265625 × 2 - 1) × π
    0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4073486328125 × 2 - 1) × π
    0.185302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.582145708985962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43334957} λ = 0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582145708985962))-π/2
    2×atan(1.78987486392284)-π/2
    2×1.0612995142853-π/2
    2.12259902857061-1.57079632675     		φ = 0.55180270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55180270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.615966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4661 KachelY 3337 0.43334957 0.55180270 24.829101 31.615966
    Oben rechts KachelX + 1 4662 KachelY 3337 0.43411656 0.55180270 24.873047 31.615966
    Unten links KachelX 4661 KachelY + 1 3338 0.43334957 0.55114942 24.829101 31.578536
    Unten rechts KachelX + 1 4662 KachelY + 1 3338 0.43411656 0.55114942 24.873047 31.578536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55180270-0.55114942) × R
    0.000653279999999978 × 6371000     		dl = 4162.04687999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55180270-0.55114942) × R
    0.000653279999999978 × 6371000     		dr = 4162.04687999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43334957-0.43411656) × cos(0.55180270) × R
    0.000766989999999967 × 0.851580889066527 × 6371000     		do = 4161.24430031564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43334957-0.43411656) × cos(0.55114942) × R
    0.000766989999999967 × 0.85192317187383 × 6371000     		du = 4162.91686295681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55180270)-sin(0.55114942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851580889066527-0.85192317187383)×R²
    abs(0.43411656-0.43334957)×0.00034228280730364×R²
    0.000766989999999967×0.00034228280730364×6371000²
    0.000766989999999967×0.00034228280730364×40589641000000     		ar = 17322775.1151839m²