Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4660 / 5700
↖ ↑ ↗
← S 57.421295°
E 24.785156°		 ← 2 631.17 m → S 57.421295°
E 24.829101°		 →
↑
2 630.33 m
↓
↑
2 630.33 m
↓
S 57.444950°
E 24.785156°		 ← 2 629.47 m →
6 918 611 m²		 S 57.444950°
E 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56890869140625 y=0.69586181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56890869140625 × 213)
    floor (0.56890869140625 × 8192)
    floor (4660.5)     		tx = 4660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.69586181640625 × 213)
    floor (0.69586181640625 × 8192)
    floor (5700.5)     		ty = 5700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4660 / 5700 ti = "13/4660/5700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4660/5700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4660 ÷ 213
    4660 ÷ 8192     		x = 0.56884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5700 ÷ 213
    5700 ÷ 8192     		y = 0.69580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56884765625 × 2 - 1) × π
    0.1376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43258258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69580078125 × 2 - 1) × π
    -0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43258258} λ = 0.43258258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.23025259184912))-π/2
    2×atan(0.292218756281913)-π/2
    2×0.284302839457417-π/2
    0.568605678914833-1.57079632675     		φ = -1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43258258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4660 KachelY 5700 0.43258258 -1.00219065 24.785156 -57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 4661 KachelY 5700 0.43334957 -1.00219065 24.829101 -57.421295
    Unten links KachelX 4660 KachelY + 1 5701 0.43258258 -1.00260351 24.785156 -57.444950
    Unten rechts KachelX + 1 4661 KachelY + 1 5701 0.43334957 -1.00260351 24.829101 -57.444950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.00219065--1.00260351) × R
    0.000412859999999959 × 6371000     		dl = 2630.33105999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.00219065--1.00260351) × R
    0.000412859999999959 × 6371000     		dr = 2630.33105999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43258258-0.43334957) × cos(-1.00219065) × R
    0.000766990000000023 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 2631.1696569717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43258258-0.43334957) × cos(-1.00260351) × R
    0.000766990000000023 × 0.538109699064541 × 6371000     		du = 2629.46943376288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.00219065)-sin(-1.00260351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.538109699064541)×R²
    abs(0.43334957-0.43258258)×0.000347943424440111×R²
    0.000766990000000023×0.000347943424440111×6371000²
    0.000766990000000023×0.000347943424440111×40589641000000     		ar = 6918611.29617746m²