Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 466 / 461
↖ ↑ ↗
← S 80.760615°
E147.656250°		 ← 12.553 km → S 80.760615°
E148.359375°		 →
↑
12.477 km
↓
↑
12.477 km
↓
S 80.872827°
E147.656250°		 ← 12.402 km →
155.689 km²		 S 80.872827°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9111328125 y=0.9013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9111328125 × 29)
    floor (0.9111328125 × 512)
    floor (466.5)     		tx = 466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9013671875 × 29)
    floor (0.9013671875 × 512)
    floor (461.5)     		ty = 461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 466 / 461 ti = "9/466/461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/466/461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 466 ÷ 29
    466 ÷ 512     		x = 0.91015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 461 ÷ 29
    461 ÷ 512     		y = 0.900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91015625 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57708772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900390625 × 2 - 1) × π
    -0.80078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51572849206055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57708772} λ = 2.57708772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51572849206055))-π/2
    2×atan(0.0808040256689603)-π/2
    2×0.0806288471127907-π/2
    0.161257694225581-1.57079632675     		φ = -1.40953863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57708772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40953863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.760615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 466 KachelY 461 2.57708772 -1.40953863 147.656250 -80.760615
    Oben rechts KachelX + 1 467 KachelY 461 2.58935957 -1.40953863 148.359375 -80.760615
    Unten links KachelX 466 KachelY + 1 462 2.57708772 -1.41149711 147.656250 -80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 467 KachelY + 1 462 2.58935957 -1.41149711 148.359375 -80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40953863--1.41149711) × R
    0.0019584800000001 × 6371000     		dl = 12477.4760800006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40953863--1.41149711) × R
    0.0019584800000001 × 6371000     		dr = 12477.4760800006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57708772-2.58935957) × cos(-1.40953863) × R
    0.0122718499999999 × 0.160559712872195 × 6371000     		do = 12553.1935827681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57708772-2.58935957) × cos(-1.41149711) × R
    0.0122718499999999 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 12402.0344712018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40953863)-sin(-1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160559712872195-0.15862633525071)×R²
    abs(2.58935957-2.57708772)×0.00193337762148574×R²
    0.0122718499999999×0.00193337762148574×6371000²
    0.0122718499999999×0.00193337762148574×40589641000000     		ar = 155689180.321207m²