Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 466 / 459
↖ ↑ ↗
← S 80.532071°
E147.656250°		 ← 12.861 km → S 80.532071°
E148.359375°		 →
↑
12.783 km
↓
↑
12.783 km
↓
S 80.647035°
E147.656250°		 ← 12.706 km →
163.417 km²		 S 80.647035°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9111328125 y=0.8974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9111328125 × 29)
    floor (0.9111328125 × 512)
    floor (466.5)     		tx = 466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8974609375 × 29)
    floor (0.8974609375 × 512)
    floor (459.5)     		ty = 459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 466 / 459 ti = "9/466/459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/466/459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 466 ÷ 29
    466 ÷ 512     		x = 0.91015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 459 ÷ 29
    459 ÷ 512     		y = 0.896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91015625 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57708772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896484375 × 2 - 1) × π
    -0.79296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.49118479945508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57708772} λ = 2.57708772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49118479945508))-π/2
    2×atan(0.0828117930614009)-π/2
    2×0.0826232661358761-π/2
    0.165246532271752-1.57079632675     		φ = -1.40554979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57708772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40554979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.532071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 466 KachelY 459 2.57708772 -1.40554979 147.656250 -80.532071
    Oben rechts KachelX + 1 467 KachelY 459 2.58935957 -1.40554979 148.359375 -80.532071
    Unten links KachelX 466 KachelY + 1 460 2.57708772 -1.40755629 147.656250 -80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 467 KachelY + 1 460 2.58935957 -1.40755629 148.359375 -80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40554979--1.40755629) × R
    0.00200650000000002 × 6371000     		dl = 12783.4115000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40554979--1.40755629) × R
    0.00200650000000002 × 6371000     		dr = 12783.4115000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57708772-2.58935957) × cos(-1.40554979) × R
    0.0122718499999999 × 0.164495514416111 × 6371000     		do = 12860.9101188799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57708772-2.58935957) × cos(-1.40755629) × R
    0.0122718499999999 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 12706.1452178607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40554979)-sin(-1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164495514416111-0.162516017493157)×R²
    abs(2.58935957-2.57708772)×0.00197949692295407×R²
    0.0122718499999999×0.00197949692295407×6371000²
    0.0122718499999999×0.00197949692295407×40589641000000     		ar = 163417149.433466m²