Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 466 / 277
↖ ↑ ↗
← N 63.391522°
W 16.171875°		 ← 17.509 km → N 63.391522°
W 15.820312°		 →
↑
17.557 km
↓
↑
17.557 km
↓
N 63.233628°
W 16.171875°		 ← 17.605 km →
308.250 km²		 N 63.233628°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45556640625 y=0.27099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45556640625 × 210)
    floor (0.45556640625 × 1024)
    floor (466.5)     		tx = 466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27099609375 × 210)
    floor (0.27099609375 × 1024)
    floor (277.5)     		ty = 277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 466 / 277 ti = "10/466/277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/466/277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 466 ÷ 210
    466 ÷ 1024     		x = 0.455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 277 ÷ 210
    277 ÷ 1024     		y = 0.2705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28225246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2705078125 × 2 - 1) × π
    0.458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44194194057129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28225246} λ = -0.28225246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44194194057129))-π/2
    2×atan(4.22890012099976)-π/2
    2×1.33859354952948-π/2
    2.67718709905897-1.57079632675     		φ = 1.10639077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28225246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10639077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.391522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 466 KachelY 277 -0.28225246 1.10639077 -16.171875 63.391522
    Oben rechts KachelX + 1 467 KachelY 277 -0.27611654 1.10639077 -15.820312 63.391522
    Unten links KachelX 466 KachelY + 1 278 -0.28225246 1.10363500 -16.171875 63.233628
    Unten rechts KachelX + 1 467 KachelY + 1 278 -0.27611654 1.10363500 -15.820312 63.233628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10639077-1.10363500) × R
    0.00275577000000005 × 6371000     		dl = 17557.0106700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10639077-1.10363500) × R
    0.00275577000000005 × 6371000     		dr = 17557.0106700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28225246--0.27611654) × cos(1.10639077) × R
    0.00613591999999996 × 0.447891396092727 × 6371000     		do = 17508.9464132467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28225246--0.27611654) × cos(1.10363500) × R
    0.00613591999999996 × 0.450353593075369 × 6371000     		du = 17605.1984855213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10639077)-sin(1.10363500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447891396092727-0.450353593075369)×R²
    abs(-0.27611654--0.28225246)×0.00246219698264161×R²
    0.00613591999999996×0.00246219698264161×6371000²
    0.00613591999999996×0.00246219698264161×40589641000000     		ar = 308249903.405533m²