Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46596 / 54788
↖ ↑ ↗
← N 28.294708°
W 52.020264°		 ← 268.93 m → N 28.294708°
W 52.017517°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
N 28.292289°
W 52.020264°		 ← 268.94 m →
72 322 m²		 N 28.292289°
W 52.017517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355503082275391 y=0.418003082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355503082275391 × 217)
    floor (0.355503082275391 × 131072)
    floor (46596.5)     		tx = 46596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418003082275391 × 217)
    floor (0.418003082275391 × 131072)
    floor (54788.5)     		ty = 54788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46596 / 54788 ti = "17/46596/54788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46596/54788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46596 ÷ 217
    46596 ÷ 131072     		x = 0.355499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54788 ÷ 217
    54788 ÷ 131072     		y = 0.417999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.28900146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.90792488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417999267578125 × 2 - 1) × π
    0.16400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.515225797116364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90792488} λ = -0.90792488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515225797116364))-π/2
    2×atan(1.67401644721296)-π/2
    2×1.03231606614819-π/2
    2.06463213229638-1.57079632675     		φ = 0.49383581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90792488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49383581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.294708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46596 KachelY 54788 -0.90792488 0.49383581 -52.020264 28.294708
    Oben rechts KachelX + 1 46597 KachelY 54788 -0.90787694 0.49383581 -52.017517 28.294708
    Unten links KachelX 46596 KachelY + 1 54789 -0.90792488 0.49379360 -52.020264 28.292289
    Unten rechts KachelX + 1 46597 KachelY + 1 54789 -0.90787694 0.49379360 -52.017517 28.292289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49383581-0.49379360) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dl = 268.919909999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49383581-0.49379360) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dr = 268.919909999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90792488--0.90787694) × cos(0.49383581) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.880521140481769 × 6371000     		do = 268.933820917735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90792488--0.90787694) × cos(0.49379360) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.880541147527713 × 6371000     		du = 268.939931584547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49383581)-sin(0.49379360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880521140481769-0.880541147527713)×R²
    abs(-0.90787694--0.90792488)×2.00070459435153e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00070459435153e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00070459435153e-05×40589641000000     		ar = 72322.4805678765m²