Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46593 / 94719
↖ ↑ ↗
← S 62.266644°
W 52.028503°		 ← 142.13 m → S 62.266644°
W 52.025757°		 →
↑
142.14 m
↓
↑
142.14 m
↓
S 62.267923°
W 52.028503°		 ← 142.13 m →
20 202 m²		 S 62.267923°
W 52.025757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355480194091797 y=0.722652435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355480194091797 × 217)
    floor (0.355480194091797 × 131072)
    floor (46593.5)     		tx = 46593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722652435302734 × 217)
    floor (0.722652435302734 × 131072)
    floor (94719.5)     		ty = 94719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46593 / 94719 ti = "17/46593/94719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46593/94719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46593 ÷ 217
    46593 ÷ 131072     		x = 0.355476379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94719 ÷ 217
    94719 ÷ 131072     		y = 0.722648620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355476379394531 × 2 - 1) × π
    -0.289047241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.90806869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722648620605469 × 2 - 1) × π
    -0.445297241210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.3989425416121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90806869} λ = -0.90806869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3989425416121))-π/2
    2×atan(0.246857867892781)-π/2
    2×0.242019182935648-π/2
    0.484038365871296-1.57079632675     		φ = -1.08675796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90806869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.028503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08675796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.266644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46593 KachelY 94719 -0.90806869 -1.08675796 -52.028503 -62.266644
    Oben rechts KachelX + 1 46594 KachelY 94719 -0.90802075 -1.08675796 -52.025757 -62.266644
    Unten links KachelX 46593 KachelY + 1 94720 -0.90806869 -1.08678027 -52.028503 -62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 46594 KachelY + 1 94720 -0.90802075 -1.08678027 -52.025757 -62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08675796--1.08678027) × R
    2.23100000000809e-05 × 6371000     		dl = 142.137010000515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08675796--1.08678027) × R
    2.23100000000809e-05 × 6371000     		dr = 142.137010000515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90806869--0.90802075) × cos(-1.08675796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46535741121263 × 6371000     		do = 142.132131684009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90806869--0.90802075) × cos(-1.08678027) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 142.126100378744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08675796)-sin(-1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46535741121263-0.46533766400578)×R²
    abs(-0.90802075--0.90806869)×1.97472068496074e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97472068496074e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97472068496074e-05×40589641000000     		ar = 20201.8075877217m²