Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46592 / 55808
↖ ↑ ↗
← N 25.799891°
W 52.031250°		 ← 274.98 m → N 25.799891°
W 52.028503°		 →
↑
274.97 m
↓
↑
274.97 m
↓
N 25.797418°
W 52.031250°		 ← 274.99 m →
75 613 m²		 N 25.797418°
W 52.028503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355472564697266 y=0.425785064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355472564697266 × 217)
    floor (0.355472564697266 × 131072)
    floor (46592.5)     		tx = 46592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425785064697266 × 217)
    floor (0.425785064697266 × 131072)
    floor (55808.5)     		ty = 55808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46592 / 55808 ti = "17/46592/55808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46592/55808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46592 ÷ 217
    46592 ÷ 131072     		x = 0.35546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55808 ÷ 217
    55808 ÷ 131072     		y = 0.42578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35546875 × 2 - 1) × π
    -0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42578125 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90811663} λ = -0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466330159503906))-π/2
    2×atan(1.59413323071017)-π/2
    2×1.01054468728329-π/2
    2.02108937456659-1.57079632675     		φ = 0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46592 KachelY 55808 -0.90811663 0.45029305 -52.031250 25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 46593 KachelY 55808 -0.90806869 0.45029305 -52.028503 25.799891
    Unten links KachelX 46592 KachelY + 1 55809 -0.90811663 0.45024989 -52.031250 25.797418
    Unten rechts KachelX + 1 46593 KachelY + 1 55809 -0.90806869 0.45024989 -52.028503 25.797418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45029305-0.45024989) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dl = 274.972359999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45029305-0.45024989) × R
    4.31599999999865e-05 × 6371000     		dr = 274.972359999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90811663--0.90806869) × cos(0.45029305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 274.980779162354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90811663--0.90806869) × cos(0.45024989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.900338380702274 × 6371000     		du = 274.986516176214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45029305)-sin(0.45024989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.900338380702274)×R²
    abs(-0.90806869--0.90811663)×1.87836619780501e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.87836619780501e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.87836619780501e-05×40589641000000     		ar = 75612.9025727645m²