Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4659 / 4911
↖ ↑ ↗
← S 33.687782°
E 24.741211°		 ← 4 065.92 m → S 33.687782°
E 24.785156°		 →
↑
4 065.08 m
↓
↑
4 065.08 m
↓
S 33.724340°
E 24.741211°		 ← 4 064.19 m →
16 524 760 m²		 S 33.724340°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56878662109375 y=0.59954833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56878662109375 × 213)
    floor (0.56878662109375 × 8192)
    floor (4659.5)     		tx = 4659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59954833984375 × 213)
    floor (0.59954833984375 × 8192)
    floor (4911.5)     		ty = 4911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4659 / 4911 ti = "13/4659/4911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4659/4911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4659 ÷ 213
    4659 ÷ 8192     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4911 ÷ 213
    4911 ÷ 8192     		y = 0.5994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.625097171045532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.625097171045532))-π/2
    2×atan(0.535209419133292)-π/2
    2×0.491416808715855-π/2
    0.982833617431711-1.57079632675     		φ = -0.58796271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58796271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.687782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4659 KachelY 4911 0.43181559 -0.58796271 24.741211 -33.687782
    Oben rechts KachelX + 1 4660 KachelY 4911 0.43258258 -0.58796271 24.785156 -33.687782
    Unten links KachelX 4659 KachelY + 1 4912 0.43181559 -0.58860077 24.741211 -33.724340
    Unten rechts KachelX + 1 4660 KachelY + 1 4912 0.43258258 -0.58860077 24.785156 -33.724340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58796271--0.58860077) × R
    0.000638059999999996 × 6371000     		dl = 4065.08025999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58796271--0.58860077) × R
    0.000638059999999996 × 6371000     		dr = 4065.08025999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43258258) × cos(-0.58796271) × R
    0.000766989999999967 × 0.8320724226344 × 6371000     		do = 4065.91630999687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43258258) × cos(-0.58860077) × R
    0.000766989999999967 × 0.831718342454006 × 6371000     		du = 4064.18609957125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58796271)-sin(-0.58860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8320724226344-0.831718342454006)×R²
    abs(0.43258258-0.43181559)×0.000354080180393734×R²
    0.000766989999999967×0.000354080180393734×6371000²
    0.000766989999999967×0.000354080180393734×40589641000000     		ar = 16524759.9690853m²