Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4659 / 4778
↖ ↑ ↗
← S 28.690588°
E 24.741211°		 ← 4 286.55 m → S 28.690588°
E 24.785156°		 →
↑
4 285.77 m
↓
↑
4 285.77 m
↓
S 28.729131°
E 24.741211°		 ← 4 284.98 m →
18 367 810 m²		 S 28.729131°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56878662109375 y=0.58331298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56878662109375 × 213)
    floor (0.56878662109375 × 8192)
    floor (4659.5)     		tx = 4659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58331298828125 × 213)
    floor (0.58331298828125 × 8192)
    floor (4778.5)     		ty = 4778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4659 / 4778 ti = "13/4659/4778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4659/4778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4659 ÷ 213
    4659 ÷ 8192     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4778 ÷ 213
    4778 ÷ 8192     		y = 0.583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.16650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.523087448654053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.523087448654053))-π/2
    2×atan(0.592687826976383)-π/2
    2×0.53502555395465-π/2
    1.0700511079093-1.57079632675     		φ = -0.50074522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50074522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.690588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4659 KachelY 4778 0.43181559 -0.50074522 24.741211 -28.690588
    Oben rechts KachelX + 1 4660 KachelY 4778 0.43258258 -0.50074522 24.785156 -28.690588
    Unten links KachelX 4659 KachelY + 1 4779 0.43181559 -0.50141792 24.741211 -28.729131
    Unten rechts KachelX + 1 4660 KachelY + 1 4779 0.43258258 -0.50141792 24.785156 -28.729131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50074522--0.50141792) × R
    0.000672699999999971 × 6371000     		dl = 4285.77169999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50074522--0.50141792) × R
    0.000672699999999971 × 6371000     		dr = 4285.77169999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43258258) × cos(-0.50074522) × R
    0.000766989999999967 × 0.877225040739587 × 6371000     		do = 4286.55427539379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43258258) × cos(-0.50141792) × R
    0.000766989999999967 × 0.876901892869998 × 6371000     		du = 4284.97521549736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50074522)-sin(-0.50141792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877225040739587-0.876901892869998)×R²
    abs(0.43258258-0.43181559)×0.000323147869588425×R²
    0.000766989999999967×0.000323147869588425×6371000²
    0.000766989999999967×0.000323147869588425×40589641000000     		ar = 18367809.9515466m²