Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4659 / 3893
↖ ↑ ↗
← N  8.885071°
E 24.741211°		 ← 4 827.86 m → N  8.885071°
E 24.785156°		 →
↑
4 828.13 m
↓
↑
4 828.13 m
↓
N  8.841651°
E 24.741211°		 ← 4 828.43 m →
23 310 919 m²		 N  8.841651°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56878662109375 y=0.47528076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56878662109375 × 213)
    floor (0.56878662109375 × 8192)
    floor (4659.5)     		tx = 4659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47528076171875 × 213)
    floor (0.47528076171875 × 8192)
    floor (3893.5)     		ty = 3893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4659 / 3893 ti = "13/4659/3893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4659/3893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4659 ÷ 213
    4659 ÷ 8192     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3893 ÷ 213
    3893 ÷ 8192     		y = 0.4752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4752197265625 × 2 - 1) × π
    0.049560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.155699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.155699049965942))-π/2
    2×atan(1.16847449772977)-π/2
    2×0.862935040796842-π/2
    1.72587008159368-1.57079632675     		φ = 0.15507375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.15507375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.885071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4659 KachelY 3893 0.43181559 0.15507375 24.741211 8.885071
    Oben rechts KachelX + 1 4660 KachelY 3893 0.43258258 0.15507375 24.785156 8.885071
    Unten links KachelX 4659 KachelY + 1 3894 0.43181559 0.15431592 24.741211 8.841651
    Unten rechts KachelX + 1 4660 KachelY + 1 3894 0.43258258 0.15431592 24.785156 8.841651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.15507375-0.15431592) × R
    0.000757830000000015 × 6371000     		dl = 4828.13493000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.15507375-0.15431592) × R
    0.000757830000000015 × 6371000     		dr = 4828.13493000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43258258) × cos(0.15507375) × R
    0.000766989999999967 × 0.988000142554999 × 6371000     		do = 4827.85606711384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43258258) × cos(0.15431592) × R
    0.000766989999999967 × 0.988116907926707 × 6371000     		du = 4828.42664031919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.15507375)-sin(0.15431592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988000142554999-0.988116907926707)×R²
    abs(0.43258258-0.43181559)×0.00011676537170735×R²
    0.000766989999999967×0.00011676537170735×6371000²
    0.000766989999999967×0.00011676537170735×40589641000000     		ar = 23310919.0324907m²