Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4659 / 3477
↖ ↑ ↗
← N 26.234302°
E 24.741211°		 ← 4 383.15 m → N 26.234302°
E 24.785156°		 →
↑
4 383.89 m
↓
↑
4 383.89 m
↓
N 26.194877°
E 24.741211°		 ← 4 384.64 m →
19 218 503 m²		 N 26.194877°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56878662109375 y=0.42449951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56878662109375 × 213)
    floor (0.56878662109375 × 8192)
    floor (4659.5)     		tx = 4659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42449951171875 × 213)
    floor (0.42449951171875 × 8192)
    floor (3477.5)     		ty = 3477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4659 / 3477 ti = "13/4659/3477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4659/3477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4659 ÷ 213
    4659 ÷ 8192     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3477 ÷ 213
    3477 ÷ 8192     		y = 0.4244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    0.151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.474767053837036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474767053837036))-π/2
    2×atan(1.60763966037367)-π/2
    2×1.01433563710543-π/2
    2.02867127421086-1.57079632675     		φ = 0.45787495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45787495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.234302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4659 KachelY 3477 0.43181559 0.45787495 24.741211 26.234302
    Oben rechts KachelX + 1 4660 KachelY 3477 0.43258258 0.45787495 24.785156 26.234302
    Unten links KachelX 4659 KachelY + 1 3478 0.43181559 0.45718685 24.741211 26.194877
    Unten rechts KachelX + 1 4660 KachelY + 1 3478 0.43258258 0.45718685 24.785156 26.194877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45787495-0.45718685) × R
    0.000688100000000025 × 6371000     		dl = 4383.88510000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45787495-0.45718685) × R
    0.000688100000000025 × 6371000     		dr = 4383.88510000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43258258) × cos(0.45787495) × R
    0.000766989999999967 × 0.896993885527208 × 6371000     		do = 4383.15460279955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43258258) × cos(0.45718685) × R
    0.000766989999999967 × 0.897297842901807 × 6371000     		du = 4384.63988847097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45787495)-sin(0.45718685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896993885527208-0.897297842901807)×R²
    abs(0.43258258-0.43181559)×0.000303957374598318×R²
    0.000766989999999967×0.000303957374598318×6371000²
    0.000766989999999967×0.000303957374598318×40589641000000     		ar = 19218502.5733721m²