Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4659 / 3412
↖ ↑ ↗
← N 28.767659°
E 24.741211°		 ← 4 283.39 m → N 28.767659°
E 24.785156°		 →
↑
4 284.18 m
↓
↑
4 284.18 m
↓
N 28.729131°
E 24.741211°		 ← 4 284.98 m →
18 354 216 m²		 N 28.729131°
E 24.785156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56878662109375 y=0.41656494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56878662109375 × 213)
    floor (0.56878662109375 × 8192)
    floor (4659.5)     		tx = 4659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41656494140625 × 213)
    floor (0.41656494140625 × 8192)
    floor (3412.5)     		ty = 3412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4659 / 3412 ti = "13/4659/3412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4659/3412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4659 ÷ 213
    4659 ÷ 8192     		x = 0.5687255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3412 ÷ 213
    3412 ÷ 8192     		y = 0.41650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5687255859375 × 2 - 1) × π
    0.137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43181559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41650390625 × 2 - 1) × π
    0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43181559} λ = 0.43181559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.524621429441894))-π/2
    2×atan(1.68981901154874)-π/2
    2×1.0364433481337-π/2
    2.07288669626739-1.57079632675     		φ = 0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43181559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4659 KachelY 3412 0.43181559 0.50209037 24.741211 28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 4660 KachelY 3412 0.43258258 0.50209037 24.785156 28.767659
    Unten links KachelX 4659 KachelY + 1 3413 0.43181559 0.50141792 24.741211 28.729131
    Unten rechts KachelX + 1 4660 KachelY + 1 3413 0.43258258 0.50141792 24.785156 28.729131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50209037-0.50141792) × R
    0.000672450000000047 × 6371000     		dl = 4284.1789500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50209037-0.50141792) × R
    0.000672450000000047 × 6371000     		dr = 4284.1789500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43181559-0.43258258) × cos(0.50209037) × R
    0.000766989999999967 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 4283.39480445867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43181559-0.43258258) × cos(0.50141792) × R
    0.000766989999999967 × 0.876901892869998 × 6371000     		du = 4284.97521549736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50209037)-sin(0.50141792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.876901892869998)×R²
    abs(0.43258258-0.43181559)×0.000323424375089032×R²
    0.000766989999999967×0.000323424375089032×6371000²
    0.000766989999999967×0.000323424375089032×40589641000000     		ar = 18354215.9292863m²