Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 46581 / 55484
↖ ↑ ↗
← N 26.598351°
W 52.061462°		 ← 273.04 m → N 26.598351°
W 52.058716°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
N 26.595895°
W 52.061462°		 ← 273.05 m →
74 559 m²		 N 26.595895°
W 52.058716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 46581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355388641357422 y=0.423313140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355388641357422 × 217)
    floor (0.355388641357422 × 131072)
    floor (46581.5)     		tx = 46581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423313140869141 × 217)
    floor (0.423313140869141 × 131072)
    floor (55484.5)     		ty = 55484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 46581 / 55484 ti = "17/46581/55484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/46581/55484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 46581 ÷ 217
    46581 ÷ 131072     		x = 0.355384826660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55484 ÷ 217
    55484 ÷ 131072     		y = 0.423309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.355384826660156 × 2 - 1) × π
    -0.289230346679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.90864393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423309326171875 × 2 - 1) × π
    0.15338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.481861714980804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90864393} λ = -0.90864393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481861714980804))-π/2
    2×atan(1.61908587449929)-π/2
    2×1.01751256525823-π/2
    2.03502513051646-1.57079632675     		φ = 0.46422880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90864393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.061462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46422880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.598351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 46581 KachelY 55484 -0.90864393 0.46422880 -52.061462 26.598351
    Oben rechts KachelX + 1 46582 KachelY 55484 -0.90859600 0.46422880 -52.058716 26.598351
    Unten links KachelX 46581 KachelY + 1 55485 -0.90864393 0.46418594 -52.061462 26.595895
    Unten rechts KachelX + 1 46582 KachelY + 1 55485 -0.90859600 0.46418594 -52.058716 26.595895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46422880-0.46418594) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dl = 273.061059999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46422880-0.46418594) × R
    4.28599999999779e-05 × 6371000     		dr = 273.061059999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90864393--0.90859600) × cos(0.46422880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.894167123436991 × 6371000     		do = 273.044687972147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90864393--0.90859600) × cos(0.46418594) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.89418631246721 × 6371000     		du = 273.050547573369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46422880)-sin(0.46418594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894167123436991-0.89418631246721)×R²
    abs(-0.90859600--0.90864393)×1.91890302191355e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91890302191355e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91890302191355e-05×40589641000000     		ar = 74558.6719508491m²