Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4658 / 4781
↖ ↑ ↗
← S 28.806173°
E 24.697266°		 ← 4 281.81 m → S 28.806173°
E 24.741211°		 →
↑
4 281.06 m
↓
↑
4 281.06 m
↓
S 28.844674°
E 24.697266°		 ← 4 280.23 m →
18 327 298 m²		 S 28.844674°
E 24.741211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56866455078125 y=0.58367919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56866455078125 × 213)
    floor (0.56866455078125 × 8192)
    floor (4658.5)     		tx = 4658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58367919921875 × 213)
    floor (0.58367919921875 × 8192)
    floor (4781.5)     		ty = 4781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4658 / 4781 ti = "13/4658/4781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4658/4781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4658 ÷ 213
    4658 ÷ 8192     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4781 ÷ 213
    4781 ÷ 8192     		y = 0.5836181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5836181640625 × 2 - 1) × π
    -0.167236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.525388419835815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525388419835815))-π/2
    2×atan(0.591325637147505)-π/2
    2×0.534016877088886-π/2
    1.06803375417777-1.57079632675     		φ = -0.50276257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50276257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.806173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4658 KachelY 4781 0.43104860 -0.50276257 24.697266 -28.806173
    Oben rechts KachelX + 1 4659 KachelY 4781 0.43181559 -0.50276257 24.741211 -28.806173
    Unten links KachelX 4658 KachelY + 1 4782 0.43104860 -0.50343453 24.697266 -28.844674
    Unten rechts KachelX + 1 4659 KachelY + 1 4782 0.43181559 -0.50343453 24.741211 -28.844674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50276257--0.50343453) × R
    0.000671960000000027 × 6371000     		dl = 4281.05716000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50276257--0.50343453) × R
    0.000671960000000027 × 6371000     		dr = 4281.05716000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43181559) × cos(-0.50276257) × R
    0.000766990000000023 × 0.876254768202742 × 6371000     		do = 4281.81304515333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43181559) × cos(-0.50343453) × R
    0.000766990000000023 × 0.875930787757238 × 6371000     		du = 4280.22991688029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50276257)-sin(-0.50343453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876254768202742-0.875930787757238)×R²
    abs(0.43181559-0.43104860)×0.000323980445503746×R²
    0.000766990000000023×0.000323980445503746×6371000²
    0.000766990000000023×0.000323980445503746×40589641000000     		ar = 18327298.3530322m²